Distribució normal matricial

Distribució normal matricial

Tipus	distribució matricial

En estadística, la distribució normal matricial o distribució gaussiana matricial és una distribució de probabilitat que és una generalització de la distribució normal multivariable a variables aleatòries amb valors matricials.^[1]

La normal de la matriu està relacionada amb la distribució normal multivariant de la següent manera: ^[2]

${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {MN}}_{n\times p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} ),}$

si i només si

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}_{np}(\mathrm {vec} (\mathbf {M} ),\mathbf {V} \otimes \mathbf {U} )}$

on ${\displaystyle \otimes }$ denota el producte Kronecker i ${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {M} )}$ denota la vectorització de ${\displaystyle \mathbf {M} }$.

Definició ^[3]

La funció de densitat de probabilitat per a la matriu aleatòria X (n×p) que segueix la distribució normal de la matriu ${\displaystyle {\mathcal {MN}}_{n,p}(\mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )}$ té la forma:

${\displaystyle p(\mathbf {X} \mid \mathbf {M} ,\mathbf {U} ,\mathbf {V} )={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {tr} \left[\mathbf {V} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {U} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}|\mathbf {V} |^{n/2}|\mathbf {U} |^{p/2}}}}$

on ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ denota traça i M és n×p, U és n×n i V és p×p, i la densitat s'entén com la funció de densitat de probabilitat respecte a la mesura estàndard de Lebesgue en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times p}}$, és a dir: la mesura corresponent a la integració respecte a ${\displaystyle dx_{11}dx_{21}\dots dx_{n1}dx_{12}\dots dx_{n2}\dots dx_{np}}$.^[4]

Referències