Funció Q

En estadístiques, la funció Q és la funció de distribució de la cua de la distribució normal estàndard.^[1][2] En altres paraules, ${\displaystyle Q(x)}$ és la probabilitat que una variable aleatòria normal (gaussiana) obtingui un valor més gran que ${\displaystyle x}$ desviacions estàndard. De manera equivalent, ${\displaystyle Q(x)}$ és la probabilitat que una variable aleatòria normal estàndard pren un valor més gran que ${\displaystyle x}$ .

Si ${\displaystyle Y}$ és una variable aleatòria gaussiana amb mitjana ${\displaystyle \mu }$ i la variància ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, doncs ${\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$ és estàndard normal i${\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}$on ${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}$ .

Altres definicions de la funció Q, totes elles simples transformacions de la funció de distribució acumulada normal, també s'utilitzen ocasionalment.^[3]

A causa de la seva relació amb la funció de distribució acumulada de la distribució normal, la funció Q també es pot expressar en termes de la funció d'error, que és una funció important en matemàtiques i física aplicades.^[4]

Formalment, la funció Q es defineix com

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}$

Així,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

on ${\displaystyle \Phi (x)}$ és la funció de distribució acumulada de la distribució gaussiana normal estàndard.^[5]