Funció de despesa

En microeconomia, la funció de despesa proporciona la quantitat mínima de diners que un individu necessita gastar per aconseguir algun nivell d'utilitat, donada una funció d'utilitat i els preus dels béns disponibles.^[1]

Formalment, si hi ha una funció d'utilitat ${\displaystyle u}$ que descriu les preferències sobre n mercaderies, la funció de despesa

${\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

diu quina quantitat de diners es necessita per aconseguir una utilitat ${\displaystyle u^{*}}$ si els n preus estan donats pel vector de preus ${\displaystyle p}$ . Aquesta funció està definida per

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}$

on

${\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}$

és el conjunt de tots els paquets que donen una utilitat almenys tan bona com ${\displaystyle u^{*}}$.

Expressat de manera equivalent, l'individu minimitza la despesa ${\displaystyle x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}}$ subjecte a la limitació d'utilitat mínima que ${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},}$ donant quantitats òptimes per consumir dels diferents béns com ${\displaystyle x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}}$ en funció de ${\displaystyle u^{*}}$ i els preus; aleshores la funció de despesa és

${\displaystyle e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.}$

(Propietats de la funció de despesa) Suposem que u és una funció d'utilitat contínua que representa una relació de preferència localment no saciada º sobre Rn +. Aleshores e(p, u) és

1. Homogeni de grau un en p: per a tots i ${\displaystyle \lambda }$ >0, ${\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}$

2. Continua en ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle u;}$

3. No disminueix en ${\displaystyle p}$ i augmenta estrictament en ${\displaystyle u}$ per ${\displaystyle p\gg 0;}$

4. Còncava en ${\displaystyle p}$

5. Si la funció d'utilitat és estrictament quasi còncava, hi ha el lema de Shephard.

Prova

(1) Com en la proposició anterior, tingueu en compte que

${\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}$

(2) Continueu al domini ${\displaystyle e}$ : ${\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

(3) Sigui ${\displaystyle p^{\prime }>p}$ i suposant que ${\displaystyle x\in h(p^{\prime },u)}$. Aleshores ${\displaystyle u(h)\geq u}$, i ${\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}$ . Se'n desprèn que ${\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}$ .

Per a la segona afirmació, suposem al contrari que per a alguns ${\displaystyle u^{\prime }>u}$, ${\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}$ Que, per a alguns ${\displaystyle x\in h(p,u)}$, ${\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}$, que contradiu la conclusió de "sense excés d'utilitat" de la proposició anterior.

(4) Sigui ${\displaystyle t\in (0,1)}$ i suposant ${\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}$ . Llavors, ${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}$ i ${\displaystyle p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)}$, tan ${\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq }$${\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}$ .

(5) ${\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

La funció de despesa és la inversa de la funció d'utilitat indirecta quan els preus es mantenen constants. És a dir, per a cada vector preu ${\displaystyle p}$ i nivell d'ingressos ${\displaystyle I}$: ^:106

${\displaystyle e(p,v(p,I))\equiv I}$

Hi ha una relació de dualitat entre la funció de despesa i la funció d'utilitat. Si es dona una funció d'utilitat quasi còncava regular específica, el preu corresponent és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament, per contra, el preu donat és homogeni i la funció de despesa augmenta monòtonament la utilitat generarà la funció d'utilitat quasi còncava regular. A més de la propietat que els preus són una vegada homogenis i la utilitat augmenta monòtonament, la funció de despesa sol assumir

(1) és una funció no negativa, és a dir, ${\displaystyle E(P\cdot u)>O;}$

(2) Per a P, no és decreixent, és a dir, ${\displaystyle E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}$ ;

(3)E(Pu) és una funció còncava. Això és, ${\displaystyle e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0}$${\displaystyle O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}}$

La funció de despesa és un mètode teòric important per estudiar el comportament del consumidor. La funció de despesa és molt semblant a la funció de cost en la teoria de la producció. Dual al problema de maximització de la utilitat és el problema de minimització de costos ^[2][3]

Suposem que la funció d'utilitat és la funció de Cobb-Douglas ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$ que genera les funcions de demanda ^[4]

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}$

on ${\displaystyle I}$ és la renda del consumidor. Una manera de trobar la funció de despesa és trobar primer la funció d'utilitat indirecta i després invertir-la. La funció d'utilitat indirecta ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$ es troba substituint les quantitats de la funció d'utilitat per les funcions de demanda així:

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}$

on ${\displaystyle K=(.6^{.6}*.4^{.4}).}$ Llavors ja que ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$ quan el consumidor optimitza, podem invertir la funció d'utilitat indirecta per trobar la funció de despesa:

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}$

Alternativament, la funció de despesa es pot trobar resolent el problema de minimitzar ${\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$ subjecte a la restricció ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.}$ Això produeix funcions de demanda condicionals ${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$ i ${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$ i la funció de despesa és llavors

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}$

• Mas-Colell, Andreu. Microeconomic Theory, 2007, p. 59–60. ISBN 0-19-510268-1. 
• Mathis, Stephen A. Microeconomic Theory: An Integrated Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2002, p. 132–133. ISBN 0-13-011418-9. 
• Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. Second. New York: W. W. Norton, 1984, p. 121–123. ISBN 0-393-95282-7. 

• Problema de minimització de la despesa
• Funció de demanda hicksiana
• Equació de Slutski
• Problema de maximització de la utilitat
• Limitació pressupostària
• Conjunt de consum
• Lema de Shephard