Teorema de Meyers-Serrin

En anàlisi funcional, el teorema de Meyers-Serrin consisteix en l'equivalència de dues definicions diferents dels espais de Sóbolev. El seu enunciat és

${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )=H^{m,p}(\Omega )}$^[1] · ^[2]

Definicions

Les notacions són les que s'usen en l'article espai de Sóbolev.

Sigui Ω un conjunt obert qualsevol (no buit) de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dos conceptes que s'utilitzen sovint en la teoria de les equacions diferencials en derivades parcials i en el càlcul de variacions són els espais H i els espais W.

Més precisament, si ${\displaystyle m}$ és un nombre natural, ${\displaystyle p}$ és un nombre real tal que ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ i ${\displaystyle \alpha }$ és un multi-índex, llavors

• ${\displaystyle W^{m,p}}$ és l'espai de Sóbolev:

${\displaystyle \{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega );D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega ),\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}}$

proveït de la norma:

${\displaystyle \|u\|_{W^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}}$

on ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ és una derivada parcial de ${\displaystyle u}$ en el sentit de les distribucions i

${\displaystyle \|.\|_{\mathrm {L} ^{p}}}$ designa la norma de l'espai de Lebesgue ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$.

• '${\displaystyle H^{m,p}(\Omega )}$ és l'adherència dins de ${\displaystyle W^{m,p}(\Omega )}$ de ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\cap W^{m,p}(\Omega )}$.

${\displaystyle \{u\in C^{\infty }(\Omega );\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}}$

amb

${\displaystyle \|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}}$

on ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ és una derivada parcial de ${\displaystyle u}$ en el sentit clàssic (${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$).

Observació

Abans de la publicació del teorema, la igualtat H = W era demostrada per certs conjunts oberts Ω (que satisfessin certes propietats de regularitat).^[3]

Referències