Integrace per partes (integrace po částech ) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ {\displaystyle (uv)^{\prime }=u^{\prime }v+uv^{\prime }} Uplatněním této věty na podmínky pro integrál vzniknou následující vzorce:
∫ ( u v ) ′ d x = ∫ ( u ′ v ) d x + ∫ ( u v ′ ) d x {\displaystyle \int (uv)'\,\mathrm {d} x=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x} u v = ∫ ( u ′ v ) d x + ∫ ( u v ′ ) d x {\displaystyle uv=\int (u'v)\,\mathrm {d} x+\int (uv')\,\mathrm {d} x} Úpravou druhé rovnice vznikne metoda integrace označovaná per partes :
∫ ( u v ′ ) d x = u v − ∫ ( u ′ v ) d x {\displaystyle \int (uv')\,\mathrm {d} x=uv-\int (u'v)\,\mathrm {d} x} Druhý vztah získáme pouhou záměnou u ↔ v {\displaystyle u\leftrightarrow v} .
Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako
∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u} Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.
Per partes pro neurčitý integrál
Věta Nechť u ( x ) {\displaystyle u(x)} a v ( x ) {\displaystyle v(x)} mají v intervalu ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} spojitou první derivaci. Potom v intervalu ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} platí: [ 1]
∫ u ′ v d x = u v − ∫ u v ′ d x . {\displaystyle \int u'v\,\mathrm {d} x=uv-\int uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}
Příklady ∫ ( x ⋅ cos x ) d x = x ⋅ sin x − ∫ sin x d x = x ⋅ sin x + cos x + C {\displaystyle \int (x\cdot \cos x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x-\int \sin x\,\mathrm {d} x=x\cdot \sin x+\cos x+C} , kde bylo použito u = x , v ′ = cos x {\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x} Pro nalezení ∫ x 2 sin x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x} položíme u = x 2 , v = sin x {\displaystyle u=x^{2},v=\sin x} , takže dostaneme ∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\,\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x} . Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme u = x , v ′ = cos x {\displaystyle u=x,v^{\prime }=\cos x} , tzn. ∫ x cos x d x = x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x {\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x=x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x=x\sin x+\cos x} . Dosazením pak získáme konečný výsledek ∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 ( x sin x + cos x ) + C {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C}
Rychlá výpočetní metoda per partes Rychlá výpočetní metoda není rozšířením metody per partes. Jedná se o mnemotechnickou pomůcku usnadňující zapamatování postupu výpočtu, jeho zpřehlednění a následně usnadní i kontrolu.
Formálně je možné metodu naznačit následovně:
∫ u ( x ) v ″ ( x ) d x = D e r i v a c e I n t e g r a c e u ( x ) v ″ ( x ) + ↘ u ′ ( x ) v ′ ( x ) − ↘ u ″ ( x ) v ( x ) ⟶ + ∫ = + u ( x ) v ′ ( x ) − u ′ ( x ) v ( x ) + ∫ u ″ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v''(x)\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}Derivace&&Integrace\\\hline \color {green}{u(x)}&&v''(x)\\&\color {green}{+ \atop \searrow }&\\\color {blue}{u'(x)}&&\color {green}{v'(x)}\\&\color {blue}{- \atop \searrow }&\\\color {red}{u''(x)}&&\color {blue}{v(x)}\\&\color {red}{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=\color {green}{\,+u(x)v'(x)}\color {blue}{\,-u'(x)v(x)}\color {red}{\,+\int u''(x)}\color {blue}{v(x)}\color {red}{\,\mathrm {d} x}} Při integraci součinu dvou funkcí se vytvoří dvousloupcová tabulka, kde se v prvním sloupci derivuje jeden z činitelů a ve druhém sloupci se integruje druhý. V každém kroku (řádku) tabulky si klademe otázku zda jsme schopni integrovat součin na daném řádku. Pokud ne, vytvoří se další řádek. Pokud ano, doplní se šipky ( + ↘ − ↘ + ↘ − ↘ + ↘ … {\displaystyle \textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\textstyle {- \atop \searrow }\,\textstyle {+ \atop \searrow }\,\dots } ) a zapíše výsledek.
Příklady použití A) Klasické použití rychlé metody per partes (čtyřnásobné):
∫ x 3 e x d x = D I x 3 e x + ↘ 3 x 2 e x − ↘ 6 x e x + ↘ 6 e x − ↘ 0 e x ⟶ + ∫ = x 3 e x − 3 x 2 e x + 6 x e x − 6 e x + C {\displaystyle \int x^{3}\mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&\mathrm {e} ^{x}\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\mathrm {e} ^{x}\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\mathrm {e} ^{x}\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=x^{3}\mathrm {e} ^{x}-3x^{2}\mathrm {e} ^{x}+6x\mathrm {e} ^{x}-6\mathrm {e} ^{x}+C} B) Zacyklení v případech integrace součinu exponenciálních a goniometrických funkcí :
∫ e x sin x d x ⏟ K = D I e x sin x + ↘ e x − cos x − ↘ e x − sin x ⟶ + ∫ = − e x cos x + e x sin x − ∫ e x sin x d x ⏟ K {\displaystyle \underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \mathrm {e} ^{x}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\\mathrm {e} ^{x}&&-\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-\underbrace {\int \mathrm {e} ^{x}\sin x\,\mathrm {d} x} _{\color {green}{K}}}
tj. K = − e x cos x + e x sin x − K ⟹ K = 1 2 e x ( sin x − cos x ) + C {\displaystyle \quad {\color {green}{K}}=-\mathrm {e} ^{x}\cos x+\mathrm {e} ^{x}\sin x-{\color {green}{K}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\color {green}{K}}={\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{x}\left(\sin x-\cos x\right)+C} C) Rozšíření na součin v případech kdy má smysl pracovat s derivací integrandu:
∫ ln x d x = ∫ 1 ⋅ ln x d x = D I ln x 1 + ↘ 1 x x ⟶ − ∫ = x ln x − ∫ 1 x ⋅ x d x = x ln x − x + C {\displaystyle \int \ln x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot \ln x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline \ln x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{x}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}\cdot x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C}
∫ arctg x d x = ∫ 1 ⋅ arctg x d x = D I arctg x 1 + ↘ 1 1 + x 2 x ⟶ − ∫ = x arctg x − ∫ x 1 + x 2 d x = x arctg x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x=\int 1\cdot {\mbox{arctg }}x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline {\mbox{arctg }}x&&1\\&{+ \atop \searrow }&\\{\frac {1}{1+x^{2}}}&&x\\&{\longrightarrow \atop {-\int }}&\\\end{array}}=x\,{\mbox{arctg }}x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\,{\mbox{arctg }}x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}
Užití per partes k odvození vzorců
Primitivní funkce ∫ e α x cos ω x d x = e α x ( ω sin ω x + α cos ω x ) α 2 + ω 2 + C ∫ e α x sin ω x d x = e α x ( α sin ω x − ω cos ω x ) α 2 + ω 2 + C , C ∈ R {\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int e^{\alpha x}\cos \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\omega \sin \omega x+\alpha \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C\\\displaystyle \int e^{\alpha x}\sin \omega x\,\mathrm {d} x&=\displaystyle {\frac {e^{\alpha x}(\alpha \sin \omega x-\omega \cos \omega x)}{\alpha ^{2}+\omega ^{2}}}+C,\quad C\in \mathbb {R} \end{array}}}
atd. … {\displaystyle \quad \dots \quad } [ 1] [ 2]
Rekurentní vzorce ∫ cos n x d x = J n potom J n + 2 = 1 n + 2 cos n + 1 x sin x + n + 1 n + 2 J n ∫ sin n x d x = J n potom J n + 2 = − 1 n + 2 sin n + 1 x cos x + n + 1 n + 2 J n ∫ d x ( 1 + x 2 ) n = J n potom J n + 1 = 1 2 n ( x ( 1 + x 2 ) n + ( 2 n − 1 ) J n ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \int \cos ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&\quad {\mbox{potom}}\quad &J_{n+2}=\,\,{\frac {1}{n+2}}\,\cos ^{n+1}x\,\sin x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int \sin ^{n}x\,\mathrm {d} x=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+2}=-{\frac {1}{n+2}}\sin ^{n+1}x\,\cos x\,+\,{\frac {n+1}{n+2}}\,J_{n}\\\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n}}}=J_{n}&{\mbox{potom}}&J_{n+1}=\,\,{\frac {1}{2n}}\left(\;{\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+(2n-1)\,J_{n}\;\right)\end{array}}}
atd. … {\displaystyle \quad \dots \quad } [ 1] [ 2]
Per partes pro určitý integrál
Věta Nechť u ( x ) {\displaystyle u(x)} a v ( x ) {\displaystyle v(x)} mají v intervalu ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } spojitou první derivaci. Potom v intervalu ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } platí: [ 1]
∫ a b u ′ v d x = [ u v ] a b − ∫ a b u v ′ d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}u'v\,\mathrm {d} x=\left[uv\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uv'\,\mathrm {d} x{\mbox{.}}}
Zápis [ u v ] a b {\displaystyle \left[uv\right]_{a}^{b}} je zápis použitý v Newton-Leibnizově vzorci pro výpočet Newtonova určitého integrálu .
Příklad ∫ 0 π ( x ⋅ sin x ) d x = [ − x ⋅ cos x ] 0 π + ∫ 0 π cos x d x = π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }(x\cdot \sin x)\,\mathrm {d} x={\bigl [}-x\cdot \cos x{\bigr ]}_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }\cos x\,\mathrm {d} x=\pi } , kde bylo použito u = x {\displaystyle u=x} , v ′ = sin x {\displaystyle v^{\prime }=\sin x}
Rychlá výpočetní metoda per partes ∫ 0 π x 3 sin x d x = D I x 3 sin x + ↘ 3 x 2 − cos x − ↘ 6 x − sin x + ↘ 6 cos x − ↘ 0 sin x ⟶ + ∫ = [ − x 3 cos x + 3 x 2 sin x + 6 x cos x − 6 sin x + C ] 0 π = π 3 − 6 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }x^{3}\sin x\,\mathrm {d} x={\begin{array}{|ccc|}D&&I\\\hline x^{3}&&\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\3x^{2}&&-\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\6x&&-\sin x\\&{+ \atop \searrow }&\\6&&\cos x\\&{- \atop \searrow }&\\0&&\sin x\\&{\longrightarrow \atop {+\int }}&\\\end{array}}={\Bigl [}-x^{3}\cos x+3x^{2}\sin x+6x\cos x-6\sin x+C{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=\pi ^{3}-6\pi }
Odkazy
Reference ↑ a b c d KAREL REKTORYS A SPOLUPRACOVNÍCI. Přehled užité matematiky. 7. vyd. Praha: Prometheus, 2000. ISBN 8071961795 . ↑ a b BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-2040607-7 .
Externí odkazy WolframAlpha: Online výpočet neurčitého integrálu metodou per partes WolframAlpha: Online výpočet určitého integrálu metodou per partes
Související články Integrál Derivace Substituční metoda (integrování) Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Portály: Matematika