Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu ke konvexním kombinacím .
Konvexní obal množiny vektorů v rovině. Můžeme si představit, že okraj obalu je určený gumičkou nataženou kolem vektorů.
Definice Mějme V {\displaystyle \scriptstyle V} vektorový prostor nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} a x → 1 , … , x → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} množinu vektorů z V {\displaystyle \scriptstyle V} . Množinu všech konvexních kombinací této sady vektorů nazýváme konvexní obal vektorů x → 1 , … , x → n {\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}} (angl. convex span , convex hull či convex envelope ). Někdy se konvexní obal zmíněných vektorů značí jako [ x → 1 , … , x → n ] κ {\displaystyle \scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }} . V matematické symbolice tedy
[ x → 1 , … , x → n ] κ ≡ { ∑ i = 1 n α i x → i | ( ∀ i ∈ n ^ ) ( α i ∈ T ∧ α i ≥ 0 ) ∧ ∑ i = 1 n α i = 1 } , {\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T\wedge \alpha _{i}\geq 0)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},} kde n ^ ≡ { 1 , … , n } {\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}} .
Vlastnosti Mějme vektorový prostor V {\displaystyle \scriptstyle V} nad tělesem T {\displaystyle \scriptstyle T} . Pro konvexní obaly vektorů z V {\displaystyle \scriptstyle V} lze odvodit mimo jiné následující vlastnosti ( n ^ ≡ { 1 , … , n } {\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}} ).
Konvexní obal daných vektorů obsahuje i tyto vektory samotné. Neboli ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ i ∈ n ^ ) ( x → i ∈ [ x → 1 , … , x → n ] κ ) {\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa })} Důkaz : Doplnit... Důkaz : Doplnit... Konvexní obal daných vektorů je nejmenší konvexní podmnožina vektorového prostoru obsahující tyto vektory, tj. [ x → 1 , … , x → n ] κ = ⋂ K je konvexní , K ⊂ V , { x → 1 , … , x → n } ⊂ K K {\displaystyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\kappa }=\bigcap _{K\ {\text{je konvexní}},\ K\subset V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset K}K} Důkaz : Doplnit...
Související články Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Portály: Matematika