Tupperův vzorec

Tupperův vzorec je nerovnost definovaná Jeffem Tupperem. Množina bodů, které splňují nerovnost, vykreslená v rovině (resp. v konkrétním intervalu roviny) tvoří text obsahující nerovnost samu.

Vzorec byl poprvé publikován v příspěvku na konferenci SIGGRAPH (Special Interest Group on GRAPHics and Interactive Techniques) 2001, který se zabýval softwarem GrafEq pro vizualizaci matematických funkcí, nerovností, atp.

Tupperův vzorec je nerovnost:

${\displaystyle {1 \over 2}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)},2\right)\right\rfloor }$

kde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ značí celou část čísla a mod značí zbytek po dělení.

Uvažujme interval roviny ${\displaystyle (x,y)\in \langle 0,106)\times \langle k,k+17)}$, kde konstanta ${\displaystyle k}$ je rovna pětisetčtyřiačtyřicetimístnému číslu:

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619
34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407
85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219
16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622
95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510
73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518
43348576052669401612512669514215505395545191537854575257565907405401
57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300 

Množina bodů splňující Tupperovu nerovnost je na následujícím obrázku znázorněna modrou barvou:

(Osy na obrázku jsou popsány hodnotami vycházejícími z původního Tupperova článku, kde je použita jiná konstanta ${\displaystyle k}$. Tato původní Tupperova konstanta vytvoří obrázek převrácený vodorovně i svisle.)

Bližším ohledáním vzorce snadno zjistíme, že exponent ${\displaystyle -17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)}$ nabývá pouze celočíselných hodnot ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots ,-17\cdot 106+1}$. Každé z těchto hodnot přitom nabývá pouze v jediném podintervalu. Hodnoty ${\displaystyle 0}$ nabývá exponent v levém spodním rohu obrázku, hodnoty ${\displaystyle 1}$ v intervalu bezprostředně nad ním, a tak dále. Tedy, pixely v prvním sloupci obrázku odpovídají hodnotám exponentu ${\displaystyle 0,\ldots ,-16}$. Nejmenší hodnoty ${\displaystyle -1801=-17\cdot 106+1}$ exponent nabývá v pravém horním rohu obrázku.

Snadno ověříme, že číslo ${\displaystyle k}$ je dělitelné číslem ${\displaystyle 17}$ beze zbytku, tedy

${\displaystyle \left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor ={k \over 17}}$

pro všechna ${\displaystyle y\in \langle k,k+17)}$. Pravá strana nerovnosti tak v principu převádí číslo ${\displaystyle k/17}$ do dvojkové soustavy, je tedy pro každou konkrétní dvojici ${\displaystyle (x,y)}$ rovna buď ${\displaystyle 0}$ nebo ${\displaystyle 1}$.

Je zřejmé, že libovolný černobílý obrázek šířky ${\displaystyle w}$ a výšky ${\displaystyle h}$ pixelů, jde stejným způsobem zapsat jako binární číslo (po sloupcích; levý spodní pixel bude stát na pozici jednotek ve dvojkovém zápisu). Po převodu do desítkové soustavy a vynásobení číslem ${\displaystyle h}$ bude představovat konstantu ${\displaystyle k}$. Tupperův vzorec (s číslem ${\displaystyle 17}$ zaměněným za číslo ${\displaystyle h}$ a pozměněnými intervaly pro ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$) pak z konstanty ${\displaystyle k}$ dekóduje původní obrázek.

Konkrétních příkladů jako je Tupperův vzorec tedy lze zkonstruovat libovolně mnoho.

Tupperův vzorec je často uváděn jako příklad autoreference, kterým ale v pravém slova smyslu není. Nejpodstatnější část vzorce zajišťující, že grafem nerovnosti je předpis nerovnosti samotné, je informace zakódovaná v konstantě ${\displaystyle k}$, která ovšem není předmětem autoreferenčního vztahu.

• Oficiální stránka Jeffa Tuppera
• TupperPlot, implementace v JavaScriptu