Dieser Artikel beschreibt eine spezielle Funktion. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe Airy-Formel.
Die Airy-Funktion bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion und die verwandte Funktion , die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung
auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.
Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung wurde von Harold Jeffreys eingeführt.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
1.1Reelle Airy-Funktion
1.2Komplexe Airy-Funktion
2Eigenschaften
2.1Asymptotisches Verhalten
2.2Nullstellen
2.3Spezielle Werte
3Fourier-Transformierte
4Weitere Darstellungen
5Komplexe Argumente
6Verallgemeinerungen
7Verwandte Funktionen
7.1Airy-Zeta-Funktion
7.2Scorersche Funktionen
8Literatur
9Weblinks
10Einzelnachweise
Definition
Reelle Airy-Funktion
Für reelle Werte ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:
Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art:
Komplexe Airy-Funktion
Die komplexe Airy-Funktion ist
mit Kontour von mit nach mit .
Eigenschaften
Asymptotisches Verhalten
Für gegen lassen sich und mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:
Für gegen gelten die Beziehungen:
Nullstellen
Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für zu
Spezielle Werte
Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für die folgenden Werte:
Hierbei bezeichnet die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von und gleich ist.
Fourier-Transformierte
Direkt aus der Definition der Airy-Funktion (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.
Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.
Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]
wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von geht.
Scorersche Funktionen
Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen und zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten[4]
Sie lassen sich auch durch die Funktionen und darstellen.
Literatur
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (siehe §10.4). National Bureau of Standards, 1954.
George Biddell Airy: On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 6, 1838, S. 379–402.
Frank Olver: Asymptotics and Special Functions. Chapter 11. Academic Press, New York 1974.
Weblinks
Commons: Airy-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
↑C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000