In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.
Sie sind nach Paul Finsler benannt.
Definition
Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion
so dass für alle
gilt:
mit Gleichheit nur für ![{\displaystyle v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0)
für alle ![{\displaystyle \lambda \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c26004859ae51dde7800b3f3a960c73f81cd583)
.
Hierbei bezeichnet
den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit
im Punkt
und
das Tangentialbündel von
also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.
Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls
für alle
gilt.
Beispiele
- Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
- Riemannsche Mannigfaltigkeiten
: setze
. - Konvexe Mengen
mit der Hilbert-Metrik
: setze
für
.
Länge und Volumen
Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve
ist definiert durch
.
Die Volumenform einer
-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei
,
eine Basis von
,
die duale Basis. Sei
das euklidische Volumen von
. Die Volumenform ist dann gegeben durch
,
wobei
das euklidische Volumen der Einheitskugel im
bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge
ist definiert durch
.
Literatur
- Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
- Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
- D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
- Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
- Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003