Leibniz-Kriterium

Das Leibniz-Kriterium ist ein Konvergenzkriterium im mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit diesem Kriterium kann die Konvergenz einer unendlichen Reihe gezeigt werden. Benannt ist es nach dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz, der das Kriterium 1682 veröffentlichte.^[1][2]

Sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\,.}$

Über den Grenzwert der Reihe macht das Kriterium jedoch keine Aussage.

Das Kriterium gilt auch für monoton wachsende Nullfolgen, denn ist ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine monoton wachsende Nullfolge, so ist ${\displaystyle (-a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine monoton fallende Nullfolge.

Mit dem Leibniz-Kriterium kann beispielsweise die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe und der Leibniz-Reihe gezeigt werden.

Die alternierende harmonische Reihe

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\mp \cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln(2)}$

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Allerdings konvergiert sie nicht absolut.

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$.

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass es nicht genügt, wenn ${\displaystyle (a_{n})}$ nur eine Nullfolge ist. Die Monotonie ist notwendig für dieses Kriterium. Betrachtet man die nicht-monotone Nullfolge

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0&{\text{falls}}\ n\ {\text{gerade}},\\{\frac {2}{n+1}}&{\text{falls}}\ n\ {\text{ungerade}}.\end{cases}}}$

Die alternierende Reihe ${\displaystyle s}$ mit diesen Koeffizienten hat als ungerade Reihenglieder die negative harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist auch die gesamte Reihe ${\displaystyle s}$ divergent.

Das Leibniz-Kriterium liefert eine Abschätzung für den Grenzwert, denn bei derartig alternierenden Reihen liegt der Grenzwert immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Sei

${\displaystyle s_{N}=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}}$

die ${\displaystyle N}$-te Partialsumme der Reihe

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$

mit einer monoton fallenden Nullfolge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$.

Dann gilt für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$:

${\displaystyle s_{2k-1}\leq s\leq s_{2k}}$.

Es gibt zudem noch eine Fehlerabschätzung, das heißt eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach ${\displaystyle N}$ Summanden:^[3]

${\displaystyle |s-s_{N}|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\right|\leq a_{N+1}.}$

Wir betrachten die Teilfolge ${\displaystyle (s_{0},s_{2},s_{4},\dots )=(s_{2k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ der Folge der Partialsummen. Da die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ monoton fallend ist, gilt

${\displaystyle s_{2k+2}=s_{2k}-a_{2k+1}+a_{2k+2}\leq s_{2k},\quad k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Das heißt, die Folge ${\displaystyle (s_{2k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist ebenfalls monoton fallend. Sie ist außerdem nach unten beschränkt, denn

${\displaystyle s_{2k}=(a_{0}-a_{1})+(a_{2}-a_{3})+\dots +(a_{2k-2}-a_{2k-1})+a_{2k}\geq a_{2k}\geq 0}$,

nachdem die Klammerausdrücke wegen der Monotonie der Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ größer gleich Null sind. Die Folge ${\displaystyle (s_{2k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist also nicht nur monoton fallend, sondern auch nach unten beschränkt und damit nach dem Monotoniekriterium konvergent. Die Folge ${\displaystyle (s_{1},s_{3},s_{5},\dots )=(s_{2k+1})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ist ebenfalls konvergent (ähnliches Argument wie oben, aber monoton steigend) und hat denselben Grenzwert, da

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }s_{2k+1}=\lim _{k\to \infty }\left(s_{2k}-a_{2k+1}\right)=\lim _{k\to \infty }s_{2k}}$

wegen

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{2k+1}=0}$

gilt.^[4]

Das Leibniz-Kriterium stellt einen Spezialfall des allgemeineren Kriterium von Dirichlet dar.

1. ↑ Leibniz criterion. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
2. ↑ Gottfried Wilhelm Leibniz: De vera proportione circuli ad quadratum circumscritum in Numeris rationalibus expressa. In: Acta Eruditorum. 1682 (Latein, archive.org [abgerufen am 1. November 2022]).  Zitiert nach Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Analysis in historischer Entwicklung. Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-13766-2, ISSN 0937-7433, doi:10.1007/978-3-642-13767-9 (englisch: Analysis by Its History. 2008. Übersetzt von Andreas Lochmann). 
3. ↑ Siehe https://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
4. ↑ Beweis nach Handbuch der Mathematik. Leipzig 1986, ISBN 3-8166-0015-8, S. 408–409. Im Unterschied zu diesem Artikel beginnt die Reihe im Buch mit ${\displaystyle a_{1}}$, so dass sich ein kleiner Unterschied ergibt.