In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form
ist.
Definition
Sei
eine *-Algebra, so heißt ein Element
positiv, falls endlich viele Elemente
existieren, sodass
gilt. Man schreibt dafür auch
.
Die Menge der positiven Elemente wird mit
bezeichnet.
Besonders interessant ist der Fall, bei dem
eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft (
) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.
Beispiele
- Das Einselement
einer unitären *-Algebra ist positiv. - Für jedes Element
sind
und
per Definition positiv.
Falls
eine C*-Algebra ist, gilt:
- Sei
ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion
, die auf dem Spektrum von
stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element
. - Jede Projektion, das heißt jedes Element
für das
gilt, ist positiv. Für das Spektrum
eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich
, wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.
Kriterien
Sei
eine C*-Algebra und
. Dann sind äquivalent:
- Es gilt
und
ist ein normales Element. - Es existiert ein Element
, sodass
gilt. - Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element
, sodass
gilt.
Ist
eine unitäre *-Algebra mit Einselement
, so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent:
- Es gilt
für jedes
und
ist selbstadjungiertes Element. - Es gilt
für ein
und
ist selbstadjungiertes Element.
Eigenschaften
In *-Algebren
Sei
eine *-Algebra. Dann gilt:
- Ist
ein positives Element, dann ist
selbstadjungiert. - Die Menge der positiven Elemente
ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente
. Das heißt, für alle
und
gilt
. - Ist
ein positives Element, dann ist auch
positiv für jedes Element
. - Für die lineare Hülle von
gilt
und
.
In C*-Algebren
Sei
eine C*-Algebra. Dann gilt:
- Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes
und
ein eindeutig bestimmtes
, das
erfüllt, das heißt eine
-te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein
das Element
positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags:
. - Für jede reelle Zahl
gibt es ein positives Element
für das
für alle
gilt. Dabei ist die Abbildung
stetig. Für invertierbare
sind auch negative Werte für
möglich. - Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also
für positive
, so gilt
. - Jedes Element
lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man
zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich
, da
. - Es gilt
, falls sowohl
als auch
positiv sind. - Ist
eine C*-Unteralgebra von
, so gilt
. - Ist
eine weitere C*-Algebra und
ein *-Homomorphismus von
nach
, dann gilt
.[1] - Seien
positive Elemente für die
gilt, so kommutieren diese und es gilt
. Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt
.
Partielle Ordnung
Sei
eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente
. Wenn
gilt für
, schreibt man
oder
.
Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften
und
für alle
mit
und
.
Ist
eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für
die folgenden Eigenschaften:
- Gilt
, so ist
für jedes
. Für ein
, das mit
und
kommutiert, gilt sogar
. - Gilt
, so ist
. - Gilt
, so ist
für alle reellen Zahlen
. - Ist
invertierbar und gilt
, so ist
invertierbar und für die Inversen gilt
.
Siehe auch
Literatur
- Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9.
- Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
- Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.
Einzelnachweise
- ↑ Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1, S. 18.