Sind
und
zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von
nach
. Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.
Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.
Definitionen
Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten
Im Folgenden sei
eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring
. Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich,
bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus
werden als rationale Funktionen auf
bezeichnet.
Ist
und
, so wird
regulär in
genannt, wenn
existieren mit:
![{\displaystyle h(x)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986c6b3b7a1f9bc97e81e86c1b71209c35308518)
![{\displaystyle f={\frac {g}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff334eba3cf7745cd91c55070da375684cdca36)
Ist
, so wird die Menge der Elemente, in denen
regulär ist, als Definitionsbereich von
, als
, bezeichnet.
Rationale Abbildungen von Varietäten
bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.
Seien
und
Varietäten über einem Körper
. Eine rationale Abbildung von
nach
ist ein Tupel
![{\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c89fd863fd3eb486e5e05cc360545a17b4e6102)
mit
und
für alle
Die Abbildung heißt in
regulär, falls alle
in
regulär sind. Der Definitionsbereich von
ist
![{\displaystyle \mathrm {dom} (f)=\bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {dom} (f_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc76ab33991882d748931d48439411804ac71219)
Eine rationale Abbildung von
nach
ist also nicht auf ganz
definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge
.
Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:
![{\displaystyle f:V{\text{⇢}}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcd53f94d97611cad64bebef7a899116d3ceab9)
Dominante rationale Abbildungen
Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:
![{\displaystyle f\colon \mathbb {A} _{k}^{1}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d7c8b7040e41da1bb72c80fd0edd5a1928eeb0)
![{\displaystyle f\colon x\mapsto (x,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7043ce0af41c692f3fb6f07b198b00a880bffead)
![{\displaystyle g\colon \mathbb {A} _{k}^{2}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5545aaceca8a2c02de8b5898dfbccfda9cab4e4a)
also ![{\displaystyle \mathrm {dom} (g)=\{(x,y)\in \mathbb {A} _{k}^{2}|y\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b8cc00d9ae9c8309754490d1409045cc69b011)
denn
![{\displaystyle f(\mathbb {A} _{k}^{1})\cap \mathrm {dom} (g)=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31732ed446030cb4884773ece40f3dec4ef9bce8)
Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:
Eine rationale Abbildung
![{\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7dbb0654eae8b5275eb9bdcc76ce5ef884985e)
heißt dominant, wenn
eine in
dichte Menge ist.
Birationale Abbildungen
Eine birationale Abbildung
![{\displaystyle \phi \colon X{\text{⇢}}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d715f51a4995630b21d8461e7123a09f036ccb77)
ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung
![{\displaystyle \psi \colon Y{\text{⇢}}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b177ea1be8a1475f2f1eb178f307c12260eeb288)
gibt mit
![{\displaystyle \psi \circ \phi =id_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508d229755bc72d60bacbf0d073ecd2748880954)
und
![{\displaystyle \phi \circ \psi =id_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2eb8cfc071364d4745be7a1fc93a279697fa146)
Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.
Zusammenhang mit Körperhomomorphismen
Sei
![{\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7dbb0654eae8b5275eb9bdcc76ce5ef884985e)
![{\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd45072b41a35973eeb48f226f7d50e77f69872)
eine rationale Abbildung.
sei durch das Ideal
definiert. Wegen
![{\displaystyle f(x)\in W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a15919f5bc53bdff32b54557f7058182ff4156a)
gilt für alle
![{\displaystyle h(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b53b7a4d71dd17efa190b49621e7c9e79c2da09)
Ist also
also ![{\displaystyle {\bar {h}}\in K[W]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d5fb9278b88007684f1b91ecb3de8ba0f5d3fc)
so ist
wohldefiniert. Eine rationale Abbildung
induziert daher eine Abbildung
![{\displaystyle f^{*}\colon k[W]\to K(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e46d4a9c4de12d3dc5980460b056d44319a1c9)
Ist
![{\displaystyle f^{*}(g)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112159396cdf45b309375be525c6909a7b954ecb)
so ist das äquivalent zu
![{\displaystyle f(\mathrm {dom} (f))\subset V(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecd13fe358ba1f2b721326b1f35160dbb54687d)
Ist
dominant, so muss in diesem Fall
sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:
ist injektiv
ist dominant.
In diesem Fall induziert
einen
-linearen Körperhomomorphismus
![{\displaystyle f^{*}\colon k(W)\to k(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c290fd7b0ae192e77e6870dd32278e88c2d4c072)
Umgekehrt lässt sich zu jedem
-linearen Körperhomomorphismus
![{\displaystyle \phi \colon k(W)\to k(V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8146fe93c02a03fe3320c2e31d066978e39929dd)
eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung
![{\displaystyle f\colon V{\text{⇢}}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7dbb0654eae8b5275eb9bdcc76ce5ef884985e)
finden mit
![{\displaystyle \phi =f^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9465bba87662147f424f5f971357e57d08e01a)
Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung
ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.
Verallgemeinerungen
Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun
und
affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.
Sind
offene Mengen und
und
Morphismen von
beziehungsweise
nach
.
Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert:
ist äquivalent zu
, wenn
und
auf
übereinstimmen.
Eine rationale Abbildung
![{\displaystyle \phi \colon V{\text{⇢}}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4991e1559b9fb65ba0a8e86ab7cd0e2f000390b)
ist nun eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Äquivalenzrelation.
Eine rationale Abbildung wird dominant genannt, wenn ein (und damit jeder) Repräsentant
ein dichtes Bild hat.
Beispiele
Neilsche Parabel
Sei
die Neilsche Parabel, die durch das Polynom
![{\displaystyle y^{2}=x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542b1833d59c3ed167c061e27c140e08dde91425)
definiert ist. Der Morphismus
![{\displaystyle \phi \colon A_{k}^{1}\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5738fc396222946c0811f0f5708aa6decfb9e56)
![{\displaystyle x\mapsto (x^{2},x^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda7b98164b7147dfae83ea0b58245dd9441cde0)
ist bijektiv, aber kein Isomorphismus, da die Umkehrabbildung kein Morphismus ist. Auf
lässt sich durch
![{\displaystyle \psi \colon (x,y)\mapsto ({\frac {y}{x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebd3a20b7c25b8d257a1ca88076d42a332afb7d)
eine rationale Abbildung definieren mit
![{\displaystyle \mathrm {dom} (\psi )=V\setminus (0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e09da6deeb755d564bf540f687f63604f8f0fa)
für die gilt:
und
.
Die beiden Varietäten sind daher birational äquivalent.
Projektion im projektiven Raum
Die Projektion
![{\displaystyle p\colon \mathbb {P} _{k}^{n}{\text{⇢}}\mathbb {P} _{k}^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8dd1255dce7e64ff0566356a1bbed44cbc89ea)
![{\displaystyle p\colon (a_{0}:\ldots :a_{n})\mapsto (a_{1}:\ldots :a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf7de00c4e563c16988d2710b74392109294d73)
ist eine rationale Abbildung. Sie ist für n > 1 nur im Punkt
![{\displaystyle (1:0:\ldots :0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f9bd450c750c806ed7c0fc3533fe25d3aa7042)
nicht regulär.
Ist n = 1, so scheint die Abbildung im Punkt
![{\displaystyle (1:0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a817c7eb541a5e9033e1a2abf3bea3945b72738b)
nicht regulär zu sein, denn nach Definition ist
![{\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (a_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cd0ccacf0d1ffb5bfb6de1b87f63fb177b6a38)
und
![{\displaystyle (0)\notin P_{k}^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aeb4ae3474c14c5e2bd5172ab7de85bb5bef11)
Aber die Abbildung lässt sich in diesem Punkt fortsetzen, die Abbildung kann nämlich auch geschrieben werden als
![{\displaystyle p\colon (a_{0}:a_{1})\mapsto (1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34817da290f571e35c7fb326ee0762fbeb7a2c09)
Allgemein ist jede rationale Abbildung von einer glatten Kurve in einen projektiven Raum ein Morphismus.
Literatur
- Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
- Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9