Symmetrische Carlson-Form

In der Mathematik sind die symmetrischen Carlson-Formen der elliptischen Integrale eine kleine kanonische Menge von elliptischen Integralen, auf die alle anderen reduziert werden können. Sie sind eine moderne Alternative zu den Legendre-Formen. Die Legendre-Formen können in Carlson-Formen ausgedrückt werden und umgekehrt.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind:

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}$

${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$

Da ${\displaystyle R_{C}}$ und ${\displaystyle R_{D}}$ Sonderfälle von ${\displaystyle R_{F}}$ und ${\displaystyle R_{J}}$ sind, können alle elliptischen Integrale letztlich durch ${\displaystyle R_{F}}$ und ${\displaystyle R_{J}}$ dargestellt werden.

Der Begriff symmetrisch bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Funktionen im Gegensatz zu den Legendre-Formen durch Vertauschung bestimmter Funktionsargumente unverändert bleiben. Der Wert von ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ ist derselbe für jede Permutation der Argumente, und der Wert von ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)}$ ist derselbe für jede Permutation der ersten drei Argumente.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind nach Bille C. Carlson^[1] benannt.

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen leicht berechnet werden:

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{k^{2}\sin ^{3}}\phi \;R_{D}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1,1-{n\sin ^{2}}\phi )}$

(Anmerkung: dies gilt nur für ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ und ${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$)

Die Carlson-Formen werden folgendermaßen durch die Legendre-Formen dargestellt:

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {z-x}}}F\left[\arcsin \left({\sqrt {\frac {z-x}{z}}}\,\right),{\sqrt {\frac {z-y}{z-x}}}\,\right]}$

Dabei gilt 0 < x < y < z als Bedingung.

Vollständige elliptischen Integrale können durch Einsetzen von φ = π/2 berechnet werden:

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}$

Wenn zwei beliebige oder alle drei Argumente von ${\displaystyle R_{F}}$ identisch sind, dann macht die Substitution ${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$ den Integranden rational. Das Integral kann dann durch elementare transzendente Funktionen ausgedrückt werden.

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {t+x}}\,(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\textstyle \arccos \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\textstyle \operatorname {arccosh} \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}$

Ähnlich verhält es sich, wenn mindestens zwei der ersten drei Argumente von ${\displaystyle R_{J}}$ identisch sind,

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{3/2}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

Wenn man in die Integraldefinitionen jede Konstante ${\displaystyle \kappa }$ durch ${\displaystyle t=\kappa u}$ ersetzt, stellt man fest, dass

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}$

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

mit ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\ ,\end{aligned}}}$^[2]

mit ${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})}$ and ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$.

Um eine Taylorreihe für ${\displaystyle R_{F}}$ oder ${\displaystyle R_{J}}$ zu erhalten, erweist es sich als praktisch, um den Mittelwert aller Argumente zu entwickeln. Für ${\displaystyle R_{F}}$ sei der Mittelwert der Argumente also ${\displaystyle A=(x+y+z)/3}$, und unter Verwendung der Homogenität werden ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$ und ${\displaystyle \Delta z}$ definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A\cdot (1-\Delta x),A\cdot (1-\Delta y),A\cdot (1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}$

d. h. ${\displaystyle \Delta x=1-x/A}$ usw. Die Differenzen ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$ und ${\displaystyle \Delta z}$ werden mit diesem Vorzeichen definiert (so dass sie subtrahiert werden), um mit Carlsons Veröffentlichungen übereinzustimmen. Da ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ unter der Permutation von ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ symmetrisch ist, sie ist auch symmetrisch in ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$ und ${\displaystyle \Delta z}$. Daraus folgt, dass sowohl der Integrand von ${\displaystyle R_{F}}$, als auch sein Integral als Funktionen der Elementarsymmetrischen Polynome in ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$ und ${\displaystyle \Delta z}$ ausgedrückt werden können, das sind

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$ .

Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{3/2}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{7/2}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{9/2}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{11/2}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{13/2}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Der Vorteil der Entwicklung um den Mittelwert der Argumente offenbart sich jetzt; sie reduziert ${\displaystyle E_{1}}$ auf Null und eliminiert damit alle Terme mit ${\displaystyle E_{1}}$, die sonst am zahlreichsten wären.

Eine aufsteigende Reihe für ${\displaystyle R_{J}}$ kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Es gibt eine kleine Schwierigkeit, weil ${\displaystyle R_{J}}$ nicht vollständig symmetrisch ist; seine Abhängigkeit vom vierten Argument, ${\displaystyle p}$, unterscheidet sich von der Abhängigkeit von ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$. Dies wird dadurch überwunden, dass ${\displaystyle R_{J}}$ als eine vollsymmetrische Funktion von fünf Argumenten behandelt wird, von denen nun zwei den gleichen Wert ${\displaystyle p}$ haben. Der Mittelwert der Argumente wird daher

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$ .

und die Differenzen ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$, ${\displaystyle \Delta z}$ und ${\displaystyle \Delta p}$ definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{3/2}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}$

Die Elementarsymmetrischen Polynome von ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta y}$, ${\displaystyle \Delta z}$, ${\displaystyle \Delta p}$ und (nochmal) ${\displaystyle \Delta p}$ sind insgesamt

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

Es ist jedoch möglich, die Formeln für ${\displaystyle E_{2}}$, ${\displaystyle E_{3}}$ und ${\displaystyle E_{4}}$ zu vereinfachen, indem man die Tatsache benutzt, dass ${\displaystyle E_{1}=0}$. Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, wie zuvor, ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{3/2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {3}{2A^{3/2}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{5/2}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{9/2}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{11/2}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{13/2}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{15/2}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{A^{3/2}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

Wie bei ${\displaystyle R_{J}}$ werden durch die Entwicklung um den Mittelwert der Argumente mehr als die Hälfte der Terme (diejenigen, die ${\displaystyle E_{1}}$ enthalten) eliminiert.

Im Allgemeinen dürfen die Argumente ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ von Carlsons Integralen nicht reell und negativ sein, da dies einen Verzweigungspunkt auf dem Integrationspfad erzeugen würde, was das Integral mehrdeutig machen würde. Wenn jedoch das zweite Argument von ${\displaystyle R_{C}}$ oder das vierte Argument ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle R_{J}}$ negativ ist, dann ergibt sich eine einfache Polstelle auf dem Integrationspfad. In diesen Fällen kann der Cauchysche Hauptwert (der endliche Teil) der Integrale von Interesse sein; dies sind

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

wobei

${\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}}$

größer als Null sein muss, damit ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,q)}$ ausgewertet werden kann. Dies kann erreicht werden, indem ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ so permutiert werden, dass der Wert von ${\displaystyle y}$ zwischen dem von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle z}$ liegt.

Der Duplikationssatz kann für eine schnelle und robuste Auswertung der symmetrischen Carlson-Formen von elliptischen Integralen verwendet werden, und damit auch für die Auswertung der Legendre-Form der elliptischen Integrale.^[3] Zur Berechnung von ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$ definieren wir zunächst ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle y_{0}=y}$ und ${\displaystyle z_{0}=z}$. Dann wird die Reihe iteriert

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

bis die gewünschte Präzision erreicht ist: Wenn ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ nicht negativ sind, konvergieren alle Reihen schnell zu einem bestimmten Wert ${\displaystyle \mu }$. Damit ist

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

Die Auswertung von ${\displaystyle R_{C}(x,y)}$ erfolgt ebenso mit Hilfe der Beziehung

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

• B. C. Carlson, John L. Gustafson: Asymptotic approximations for symmetric elliptic integrals. In: OP-SF 7. 1993, arxiv:math/9310223v1. 
• B. C. Carlson: 'Elliptic Integrals:Symmetric Integrals' in Chap. 19 of Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology, 7. Mai 2010; abgerufen im 1. Januar 1. 
• Fortran Code aus SLATEC zur Auswertung von RF, RJ, RC, RD,

1. ↑ 'Profile: Bille C. Carlson' in Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology; abgerufen im 1. Januar 1 
2. ↑ Bille C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. 1994, arxiv:math/9409227v1. 
3. ↑ WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. 3rd Auflage. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions.