In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Spezialisierungen
3Eigenschaften
4Reihenformeln
5Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen
6Siehe auch
7Quellen
Definition
Für eine natürliche Zahl ist definiert:
.
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von , einschließlich und . Beispielsweise ist demnach
Spezialisierungen
ist die Teileranzahlfunktion,
ist die Teilersumme.
Eigenschaften
ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde gilt: .
Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als schreibt: Wenn man nun durch substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die teilen.
Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)[3]
für
was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:
für
und (S. 292, Satz 305)
Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:
für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.
Die Teilerfunktion lässt sich für mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:[4]
Die Berechnung der ersten Werte von zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" :
Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen
Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht , gerade, sind die Teilerfunktionen . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle :[5]
Siehe auch
Hochzusammengesetzte Zahl
Quellen
↑Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).
↑E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S.134.
↑Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S.285, 292.
↑E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S.130.
↑Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S.140.