In der Mathematik ist die topologische Komplexität
(TC für eng. topological complexity) eines topologischen Raumes
eine topologische Invariante, die von Michael Farber im Jahr 2003 eingeführt wurde.[1]
Definition
Sei
ein topologischer Raum und
der Wegraum von
, also der Raum aller stetigen Wege in
. Es gibt eine stetige Projektion
durch
. Die topologische Komplexität ist die kleinste Nummer
, sodass:
- eine offene Überdeckung
von
existiert, - für jedes
ein lokaler Schnitt
existiert, also eine stetige Abbildung mit
.
Lemmata
- Ein topologischer Raum
ist genau dann zusammenziehbar, wenn
. - Die topologische Komplexität hängt mit der Lusternik–Schnirelmann-Kategorie zusammen über[1]:
![{\displaystyle \operatorname {cat} (X)\leq \operatorname {TC} (X)\leq 2\operatorname {cat} (X)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d6ebb6f7f5b125911a0a056f8144e81ab8ecb1)
- Für wegzusammenhängende metrische Räume gilt:[1]
![{\displaystyle \operatorname {TC} (X\times Y)\leq \operatorname {TC} (X)+\operatorname {TC} (Y)+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b317efbd0a35f20d0370b1712a60951db8f0db)
Beispiele
- Für die topologische Komplexität der Sphäre
gilt:[1] ![{\displaystyle \operatorname {TC} (S^{n})={\begin{cases}2&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\3&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61ea5fe667a831ecfec0adf9f290e2acb981ccb)
- Für die topologische Komplexität des
-fachen Produktes von
-Sphären gilt:[1] ![{\displaystyle \operatorname {TC} ((S^{m})^{n})={\begin{cases}n+1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n+1&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be756dafb71c1fa37f337f44502dd88f5e04a69)
- Insbesondere folgt mit
der Spezialfall
für die topologische Komplexität der Tori. - Für die topologische Komplexität der Σ-Flächen gilt:[1]
![{\displaystyle \operatorname {TC} (\Sigma _{g})={\begin{cases}3&;g\leq 1\\5&;g>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b76fc8ccaa5613dc7876d6872df60dd8395b6e)
- Es gilt
,
und
.[2] - Ist
der Konfigurationsraum von
getrennten Punkten im
-dimensionalen euklidischen Raum, dann ist[3]: ![{\displaystyle \operatorname {TC} (\operatorname {Conf} (\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n-2&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ba732453ca5fcf8b6938335627d2e63fe59b47)
- Die topologische Komplexität der Kleinschen Flasche ist 5.[4]
Weblinks
- Topologische Komplexität auf nLab (englisch)
Referenzen
- ↑ a b c d e f Farber, M.: Topological complexity of motion planning. In: Discrete & Computational Geometry, S. 211–221 (englisch).
- ↑ Alexander Dranishnikov, Rustam Sadykov (2017). On LS-category and topological complexity of connected sum. arxiv:1707.07088
- ↑ Armindo Costa: Topological Complexity of Configuration Spaces, Ph.D. Thesis, Durham University (2010), online
- ↑ Cohen, Daniel C.; Vandembroucq, Lucile (2016). Topological Complexity of the Klein bottle. arXiv:1612.03133