Anexo:Poliedros uniformes
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En geometría, un poliedro uniforme es un poliedro que tiene polígonos regulares como caras y es una figura isogonal (es decir, que es transitiva respecto a sus vértices, de forma que existe una isometría que permite aplicar un vértice cualquiera sobre cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes y el poliedro tiene un alto grado de simetría rotacional y especular.[1]
Los poliedros uniformes se pueden dividir entre formas convexas con caras formadas por polígonos regurales convexos y aquellos cuyas caras tienen forma de estrella. Los poliedros estrellados tienen caras con forma de estrella o figras de vértice regulares o ambos tipos de elementos.
El listado incluye los siguientes poliedros:
- Los 75 poliedros uniformes no prismáticos
- Algunos representantes de los conjuntos infinitos de prisma y antiprismas
- Un poliedro degenerado, la figura de Skilling con aristas superpuestas
Se comprobó en Sopov (1970) que solo existen 75 poliedros uniformes además de las infinitas familias de prismas y antiprismas. John Skilling descubrió un ejemplo degenerado pasado por alto, al relajar la condición de que solo dos caras pueden encontrarse solamente en una arista. Este es un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme, porque algunos pares de aristas coinciden.
No se incluyen:
- Los compuestos poliédricos uniformes
- Los 40 poliedros uniformes degenerados con figuras de vértice potenciales que tienen aristas superpuestas (no contabilizados por Harold Scott MacDonald Coxeter)
- Las teselaciones uniformes (poliedros infinitos)
- 11 teselados uniformes convexos euclídeos
- 28 teselados uniformes no convexos o apeirogonales
- Un número infinito de teselados uniformes en el plano hiperbólico
- Cualquier polígono o polícoro
Indexación
Son de uso común cuatro esquemas de numeración para los poliedros uniformes, que se distinguen por letras:
- ['C] Coxeter et al., 1954, mostró las formas convexas como figuras 15 a 32; tres formas prismáticas, figuras 33–35; y las formas no convexas, figuras 36–92.
- [W] Wenninger, 1974, tiene 119 figuras: 1–5 para los sólidos platónicos, 6–18 para los sólidos de Arquímedes, 19–66 para las formas estrelladas, incluidos los 4 poliedros regulares no convexos, y terminó con 67–119 para los poliedros uniformes no convexos.
- [K] Kaleido, 1993: Las 80 figuras se agruparon por simetría: 1–5 como representantes de las infinitas familias de formas prismáticas con simetría diedral, 6–9 con simetría tetraédrica, 10–26 con simetría octaédrica, 27–80 con simetría icosaédrica.
- [U] Mathematica, 1993, sigue la serie Kaleido con las 5 formas prismáticas movidas al final, de modo que las formas no prismáticas se convierten en 1–75.
Nombres de poliedros por el número de lados
Hay nombres geométricos genéricos para los poliedros más comunes. Por ejemplo, los cinco sólidos platónicos se denominan tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, con 4, 6, 8, 12 y 20 lados respectivamente.
Tabla de poliedros
Las formas convexas se enumeran en orden de grado de configuración de vértices desde 3 caras/vértice en adelante, y en lados crecientes por cara. Este ordenamiento permite mostrar similitudes topológicas.
Poliedros uniformes convexos
Nombre | Imagen | Tipo de Vértices | Símbolo Wythoff | Simetría | C# | W# | U# | K# | Vértices | Aristas | Caras | Tipo de caras |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraedro | ![]() | ![]() 3.3.3 | 3 | 2 3 | Td | C15 | W001 | U01 | K06 | 4 | 6 | 4 | 4{3} |
Prisma triangular | ![]() | ![]() 3.4.4 | 2 3 | 2 | D3h | C33a | — | U76a | K01a | 6 | 9 | 5 | 2{3} +3{4} |
Tetraedro truncado | ![]() | ![]() 3.6.6 | 2 3 | 3 | Td | C16 | W006 | U02 | K07 | 12 | 18 | 8 | 4{3} +4{6} |
Cubo truncado | ![]() | ![]() 3.8.8 | 2 3 | 4 | Oh | C21 | W008 | U09 | K14 | 24 | 36 | 14 | 8{3} +6{8} |
Dodecaedro truncado | ![]() | ![]() 3.10.10 | 2 3 | 5 | Ih | C29 | W010 | U26 | K31 | 60 | 90 | 32 | 20{3} +12{10} |
Cubo | ![]() | ![]() 4.4.4 | 3 | 2 4 | Oh | C18 | W003 | U06 | K11 | 8 | 12 | 6 | 6{4} |
Prisma pentagonal | ![]() | ![]() 4.4.5 | 2 5 | 2 | D5h | C33b | — | U76b | K01b | 10 | 15 | 7 | 5{4} +2{5} |
Prisma hexagonal | ![]() | ![]() 4.4.6 | 2 6 | 2 | D6h | C33c | — | U76c | K01c | 12 | 18 | 8 | 6{4} +2{6} |
Prisma octogonal | ![]() | ![]() 4.4.8 | 2 8 | 2 | D8h | C33e | — | U76e | K01e | 16 | 24 | 10 | 8{4} +2{8} |
Prisma decagonal | ![]() | ![]() 4.4.10 | 2 10 | 2 | D10h | C33g | — | U76g | K01g | 20 | 30 | 12 | 10{4} +2{10} |
Prisma dodecagonal | ![]() | ![]() 4.4.12 | 2 12 | 2 | D12h | C33i | — | U76i | K01i | 24 | 36 | 14 | 12{4} +2{12} |
Octaedro truncado | ![]() | ![]() 4.6.6 | 2 4 | 3 | Oh | C20 | W007 | U08 | K13 | 24 | 36 | 14 | 6{4} +8{6} |
Cuboctaedro truncado | ![]() | ![]() 4.6.8 | 2 3 4 | | Oh | C23 | W015 | U11 | K16 | 48 | 72 | 26 | 12{4} +8{6} +6{8} |
Icosidodecaedro truncado | ![]() | ![]() 4.6.10 | 2 3 5 | | Ih | C31 | W016 | U28 | K33 | 120 | 180 | 62 | 30{4} +20{6} +12{10} |
Dodecaedro | ![]() | ![]() 5.5.5 | 3 | 2 5 | Ih | C26 | W005 | U23 | K28 | 20 | 30 | 12 | 12{5} |
Icosaedro truncado | ![]() | ![]() 5.6.6 | 2 5 | 3 | Ih | C27 | W009 | U25 | K30 | 60 | 90 | 32 | 12{5} +20{6} |
Octaedro | ![]() | ![]() 3.3.3.3 | 4 | 2 3 | Oh | C17 | W002 | U05 | K10 | 6 | 12 | 8 | 8{3} |
Antiprisma cuadrado | ![]() | ![]() 3.3.3.4 | | 2 2 4 | D4d | C34a | — | U77a | K02a | 8 | 16 | 10 | 8{3} +2{4} |
Antiprisma pentagonal | ![]() | ![]() 3.3.3.5 | | 2 2 5 | D5d | C34b | — | U77b | K02b | 10 | 20 | 12 | 10{3} +2{5} |
Antiprisma hexagonal | ![]() | ![]() 3.3.3.6 | | 2 2 6 | D6d | C34c | — | U77c | K02c | 12 | 24 | 14 | 12{3} +2{6} |
Antiprisma octogonal | ![]() | ![]() 3.3.3.8 | | 2 2 8 | D8d | C34e | — | U77e | K02e | 16 | 32 | 18 | 16{3} +2{8} |
Antiprisma decagonal | ![]() | ![]() 3.3.3.10 | | 2 2 10 | D10d | C34g | — | U77g | K02g | 20 | 40 | 22 | 20{3} +2{10} |
Antiprisma dodecagonal | ![]() | ![]() 3.3.3.12 | | 2 2 12 | D12d | C34i | — | U77i | K02i | 24 | 48 | 26 | 24{3} +2{12} |
Cuboctaedro | ![]() | ![]() 3.4.3.4 | 2 | 3 4 | Oh | C19 | W011 | U07 | K12 | 12 | 24 | 14 | 8{3} +6{4} |
Rombicuboctaedro | ![]() | ![]() 3.4.4.4 | 3 4 | 2 | Oh | C22 | W013 | U10 | K15 | 24 | 48 | 26 | 8{3} +(6+12){4} |
Rombicosidodecaedro | ![]() | ![]() 3.4.5.4 | 3 5 | 2 | Ih | C30 | W014 | U27 | K32 | 60 | 120 | 62 | 20{3} +30{4} +12{5} |
Icosidodecaedro | ![]() | ![]() 3.5.3.5 | 2 | 3 5 | Ih | C28 | W012 | U24 | K29 | 30 | 60 | 32 | 20{3} +12{5} |
Icosaedro | ![]() | ![]() 3.3.3.3.3 | 5 | 2 3 | Ih | C25 | W004 | U22 | K27 | 12 | 30 | 20 | 20{3} |
Cubo romo | ![]() | ![]() 3.3.3.3.4 | | 2 3 4 | O | C24 | W017 | U12 | K17 | 24 | 60 | 38 | (8+24){3} +6{4} |
Dodecaedro romo | ![]() | ![]() 3.3.3.3.5 | | 2 3 5 | I | C32 | W018 | U29 | K34 | 60 | 150 | 92 | (20+60){3} +12{5} |
Poliedros uniformes estrellados
Las formas que contienen solo caras convexas se enumeran en primer lugar, seguidas de las figuras con caras en forma de estrella.
Los poliedros uniformes | 5/2 3 3, | 5/2 3/2 3/2, | 5/3 5/2 3, | 3/2 5/3 3 5/2 y | (3/2) 5/3 (3) 5/2 tienen algunas caras que forman pares coplanarios. (Coxeter et al. 1954, págs. 423, 425, 426; Skilling 1975, pág. 123)
Nombre | Imagen | Símbolo Wythoff | Figura vértices | Simetría | C# | W# | U# | K# | Vért. | Aristas | Caras | Chi | ¿Orien- table? | Dens. | Tipo caras |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Octahemioctaedro | ![]() | 3/2 3 | 3 | ![]() 6.3/2.6.3 | Oh | C37 | W068 | U03 | K08 | 12 | 24 | 12 | 0 | Sí | 8{3}+4{6} | |
Tetrahemihexaedro | ![]() | 3/2 3 | 2 | ![]() 4.3/2.4.3 | Td | C36 | W067 | U04 | K09 | 6 | 12 | 7 | 1 | No | 4{3}+3{4} | |
Cubohemioctaedro | ![]() | 4/3 4 | 3 | ![]() 6.4/3.6.4 | Oh | C51 | W078 | U15 | K20 | 12 | 24 | 10 | −2 | No | 6{4}+4{6} | |
Gran dodecaedro | ![]() | 5/2 | 2 5 | ![]() (5.5.5.5.5)/2 | Ih | C44 | W021 | U35 | K40 | 12 | 30 | 12 | −6 | Sí | 3 | 12{5} |
Gran icosaedro | ![]() | 5/2 | 2 3 | ![]() (3.3.3.3.3)/2 | Ih | C69 | W041 | U53 | K58 | 12 | 30 | 20 | 2 | Sí | 7 | 20{3} |
Gran icosidodecaedro ditrigonal | ![]() | 3/2 | 3 5 | ![]() (5.3.5.3.5.3)/2 | Ih | C61 | W087 | U47 | K52 | 20 | 60 | 32 | −8 | Sí | 6 | 20{3}+12{5} |
Pequeño rombihexaedro | ![]() | 2 4 (3/2 4/2) | | ![]() 4.8.4/3.8/7 | Oh | C60 | W086 | U18 | K23 | 24 | 48 | 18 | −6 | No | 12{4}+6{8} | |
Pequeño cubicuboctaedro | ![]() | 3/2 4 | 4 | ![]() 8.3/2.8.4 | Oh | C38 | W069 | U13 | K18 | 24 | 48 | 20 | −4 | Sí | 2 | 8{3}+6{4}+6{8} |
Gran rombicuboctaedro | ![]() | 3/2 4 | 2 | ![]() 4.3/2.4.4 | Oh | C59 | W085 | U17 | K22 | 24 | 48 | 26 | 2 | Sí | 5 | 8{3}+(6+12){4} |
Pequeño dodecahemi- dodecaedro | ![]() | 5/4 5 | 5 | ![]() 10.5/4.10.5 | Ih | C65 | W091 | U51 | K56 | 30 | 60 | 18 | −12 | No | 12{5}+6{10} | |
Gran dodecahemi- cosaedro | ![]() | 5/4 5 | 3 | ![]() 6.5/4.6.5 | Ih | C81 | W102 | U65 | K70 | 30 | 60 | 22 | −8 | No | 12{5}+10{6} | |
Pequeño icosihemi- dodecaedro | ![]() | 3/2 3 | 5 | ![]() 10.3/2.10.3 | Ih | C63 | W089 | U49 | K54 | 30 | 60 | 26 | −4 | No | 20{3}+6{10} | |
Pequeño dodecicosaedro | ![]() | 3 5 (3/2 5/4) | | ![]() 10.6.10/9.6/5 | Ih | C64 | W090 | U50 | K55 | 60 | 120 | 32 | −28 | No | 20{6}+12{10} | |
Pequeño rombidodecaedro | ![]() | 2 5 (3/2 5/2) | | ![]() 10.4.10/9.4/3 | Ih | C46 | W074 | U39 | K44 | 60 | 120 | 42 | −18 | No | 30{4}+12{10} | |
Pequeño dodecicosi- dodecaedro | ![]() | 3/2 5 | 5 | ![]() 10.3/2.10.5 | Ih | C42 | W072 | U33 | K38 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 2 | 20{3}+12{5}+12{10} |
Rombicosaedro | ![]() | 2 3 (5/4 5/2) | | ![]() 6.4.6/5.4/3 | Ih | C72 | W096 | U56 | K61 | 60 | 120 | 50 | −10 | No | 30{4}+20{6} | |
Gran icosicosi- dodecaedro | ![]() | 3/2 5 | 3 | ![]() 6.3/2.6.5 | Ih | C62 | W088 | U48 | K53 | 60 | 120 | 52 | −8 | Sí | 6 | 20{3}+12{5}+20{6} |
Prisma pentagrámico | ![]() | 2 5/2 | 2 | ![]() 5/2.4.4 | D5h | C33b | — | U78a | K03a | 10 | 15 | 7 | 2 | Sí | 2 | 5{4}+2{5/2} |
Prisma heptagrámico (7/2) | ![]() | 2 7/2 | 2 | ![]() 7/2.4.4 | D7h | C33d | — | U78b | K03b | 14 | 21 | 9 | 2 | Sí | 2 | 7{4}+2{7/2} |
Prisma heptagrámico (7/3) | ![]() | 2 7/3 | 2 | ![]() 7/3.4.4 | D7h | C33d | — | U78c | K03c | 14 | 21 | 9 | 2 | Sí | 3 | 7{4}+2{7/3} |
Prisma octagrámico | ![]() | 2 8/3 | 2 | ![]() 8/3.4.4 | D8h | C33e | — | U78d | K03d | 16 | 24 | 10 | 2 | Sí | 3 | 8{4}+2{8/3} |
Antiprisma pentagrámico | ![]() | | 2 2 5/2 | ![]() 5/2.3.3.3 | D5h | C34b | — | U79a | K04a | 10 | 20 | 12 | 2 | Sí | 2 | 10{3}+2{5/2} |
Antiprisma pentagrámico cruzado | ![]() | | 2 2 5/3 | ![]() 5/3.3.3.3 | D5d | C35a | — | U80a | K05a | 10 | 20 | 12 | 2 | Sí | 3 | 10{3}+2{5/2} |
Antiprisma heptagrámico (7/2) | ![]() | | 2 2 7/2 | ![]() 7/2.3.3.3 | D7h | C34d | — | U79b | K04b | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 3 | 14{3}+2{7/2} |
Antiprisma heptagrámico (7/3) | ![]() | | 2 2 7/3 | ![]() 7/3.3.3.3 | D7d | C34d | — | U79c | K04c | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 3 | 14{3}+2{7/3} |
Antiprisma heptagrámico cruzado | ![]() | | 2 2 7/4 | ![]() 7/4.3.3.3 | D7h | C35b | — | U80b | K05b | 14 | 28 | 16 | 2 | Sí | 4 | 14{3}+2{7/3} |
Antiprisma octagrámico | ![]() | | 2 2 8/3 | ![]() 8/3.3.3.3 | D8d | C34e | — | U79d | K04d | 16 | 32 | 18 | 2 | Sí | 3 | 16{3}+2{8/3} |
Antiprisma octagrámico cruzado | ![]() | | 2 2 8/5 | ![]() 8/5.3.3.3 | D8d | C35c | — | U80c | K05c | 16 | 32 | 18 | 2 | Sí | 5 | 16{3}+2{8/3} |
Pequeño dodecaedro estrellado | ![]() | 5 | 2 5/2 | ![]() (5/2)5 | Ih | C43 | W020 | U34 | K39 | 12 | 30 | 12 | −6 | Sí | 3 | 12{5/2} |
Gran dodecaedro estrellado | ![]() | 3 | 2 5/2 | ![]() (5/2)3 | Ih | C68 | W022 | U52 | K57 | 20 | 30 | 12 | 2 | Sí | 7 | 12{5/2} |
Dodeca- dodecaedro ditrigonal | ![]() | 3 | 5/3 5 | ![]() (5/3.5)3 | Ih | C53 | W080 | U41 | K46 | 20 | 60 | 24 | −16 | Sí | 4 | 12{5}+12{5/2} |
Pequeño icosidodecaedro ditrigonal | ![]() | 3 | 5/2 3 | ![]() (5/2.3)3 | Ih | C39 | W070 | U30 | K35 | 20 | 60 | 32 | −8 | Sí | 2 | 20{3}+12{5/2} |
Hexaedro truncado estrellado | ![]() | 2 3 | 4/3 | ![]() 8/3.8/3.3 | Oh | C66 | W092 | U19 | K24 | 24 | 36 | 14 | 2 | Sí | 7 | 8{3}+6{8/3} |
Gran rombihexaedro | ![]() | 2 4/3 (3/2 4/2) | | ![]() 4.8/3.4/3.8/5 | Oh | C82 | W103 | U21 | K26 | 24 | 48 | 18 | −6 | No | 12{4}+6{8/3} | |
Gran cubicuboctaedro | ![]() | 3 4 | 4/3 | ![]() 8/3.3.8/3.4 | Oh | C50 | W077 | U14 | K19 | 24 | 48 | 20 | −4 | Sí | 4 | 8{3}+6{4}+6{8/3} |
Gran dodecahemi- dodecaedro | ![]() | 5/3 5/2 | 5/3 | ![]() 10/3.5/3.10/3.5/2 | Ih | C86 | W107 | U70 | K75 | 30 | 60 | 18 | −12 | No | 12{5/2}+6{10/3} | |
Pequeño dodecahemi- cosaedro | ![]() | 5/3 5/2 | 3 | ![]() 6.5/3.6.5/2 | Ih | C78 | W100 | U62 | K67 | 30 | 60 | 22 | −8 | No | 12{5/2}+10{6} | |
Dodeca- dodecaedro | ![]() | 2 | 5 5/2 | ![]() (5/2.5)2 | Ih | C45 | W073 | U36 | K41 | 30 | 60 | 24 | −6 | Sí | 3 | 12{5}+12{5/2} |
Gran icosihemi- dodecaedro | ![]() | 3/2 3 | 5/3 | ![]() 10/3.3/2.10/3.3 | Ih | C85 | W106 | U71 | K76 | 30 | 60 | 26 | −4 | No | 20{3}+6{10/3} | |
Gran icosidodecaedro | ![]() | 2 | 3 5/2 | ![]() (5/2.3)2 | Ih | C70 | W094 | U54 | K59 | 30 | 60 | 32 | 2 | Sí | 7 | 20{3}+12{5/2} |
Cuboctaedro cubitruncado | ![]() | 4/3 3 4 | | ![]() 8/3.6.8 | Oh | C52 | W079 | U16 | K21 | 48 | 72 | 20 | −4 | Sí | 4 | 8{6}+6{8}+6{8/3} |
Gran cuboctaedro truncado | ![]() | 4/3 2 3 | | ![]() 8/3.4.6/5 | Oh | C67 | W093 | U20 | K25 | 48 | 72 | 26 | 2 | Sí | 1 | 12{4}+8{6}+6{8/3} |
Gran dodecaedro truncado | ![]() | 2 5/2 | 5 | ![]() 10.10.5/2 | Ih | C47 | W075 | U37 | K42 | 60 | 90 | 24 | −6 | Sí | 3 | 12{5/2}+12{10} |
Pequeño dodecaedro truncado estrellado | ![]() | 2 5 | 5/3 | ![]() 10/3.10/3.5 | Ih | C74 | W097 | U58 | K63 | 60 | 90 | 24 | −6 | Sí | 9 | 12{5}+12{10/3} |
Gran dodecaedro truncado estrellado | ![]() | 2 3 | 5/3 | ![]() 10/3.10/3.3 | Ih | C83 | W104 | U66 | K71 | 60 | 90 | 32 | 2 | Sí | 13 | 20{3}+12{10/3} |
Gran icosaedro truncado | ![]() | 2 5/2 | 3 | ![]() 6.6.5/2 | Ih | C71 | W095 | U55 | K60 | 60 | 90 | 32 | 2 | Sí | 7 | 12{5/2}+20{6} |
Gran dodecicosaedro | ![]() | 3 5/3(3/2 5/2) | | ![]() 6.10/3.6/5.10/7 | Ih | C79 | W101 | U63 | K68 | 60 | 120 | 32 | −28 | No | 20{6}+12{10/3} | |
Gran rombidodecaedro | ![]() | 2 5/3 (3/2 5/4) | | ![]() 4.10/3.4/3.10/7 | Ih | C89 | W109 | U73 | K78 | 60 | 120 | 42 | −18 | No | 30{4}+12{10/3} | |
Icosidodeca- dodecaedro | ![]() | 5/3 5 | 3 | ![]() 6.5/3.6.5 | Ih | C56 | W083 | U44 | K49 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 12{5}+12{5/2}+20{6} |
Pequeño dodecicosi- dodecaedro ditrigonal | ![]() | 5/3 3 | 5 | ![]() 10.5/3.10.3 | Ih | C55 | W082 | U43 | K48 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{3}+12{5/2}+12{10} |
Gran dodecicosi- dodecaedro ditrigonal | ![]() | 3 5 | 5/3 | ![]() 10/3.3.10/3.5 | Ih | C54 | W081 | U42 | K47 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{3}+12{5}+12{10/3} |
Gran dodecicosi- dodecaedro | ![]() | 5/2 3 | 5/3 | ![]() 10/3.5/2.10/3.3 | Ih | C77 | W099 | U61 | K66 | 60 | 120 | 44 | −16 | Sí | 10 | 20{3}+12{5/2}+12{10/3} |
Pequeño icosicosi- dodecaedro | ![]() | 5/2 3 | 3 | ![]() 6.5/2.6.3 | Ih | C40 | W071 | U31 | K36 | 60 | 120 | 52 | −8 | Sí | 2 | 20{3}+12{5/2}+20{6} |
Rombidodeca- dodecaedro | ![]() | 5/2 5 | 2 | ![]() 4.5/2.4.5 | Ih | C48 | W076 | U38 | K43 | 60 | 120 | 54 | −6 | Sí | 3 | 30{4}+12{5}+12{5/2} |
Gran rombicosi- dodecaedro | ![]() | 5/3 3 | 2 | ![]() 4.5/3.4.3 | Ih | C84 | W105 | U67 | K72 | 60 | 120 | 62 | 2 | Sí | 13 | 20{3}+30{4}+12{5/2} |
Dodeca- dodecaedro icositruncado | ![]() | 3 5 5/3 | | ![]() 10/3.6.10 | Ih | C57 | W084 | U45 | K50 | 120 | 180 | 44 | −16 | Sí | 4 | 20{6}+12{10}+12{10/3} |
Dodeca- dodecaedro truncado | ![]() | 2 5 5/3 | | ![]() 10/3.4.10/9 | Ih | C75 | W098 | U59 | K64 | 120 | 180 | 54 | −6 | Sí | 3 | 30{4}+12{10}+12{10/3} |
Gran icosidodecaedro truncado | ![]() | 2 3 5/3 | | ![]() 10/3.4.6 | Ih | C87 | W108 | U68 | K73 | 120 | 180 | 62 | 2 | Sí | 13 | 30{4}+20{6}+12{10/3} |
Dodeca- dodecaedro romo | ![]() | | 2 5/2 5 | ![]() 3.3.5/2.3.5 | I | C49 | W111 | U40 | K45 | 60 | 150 | 84 | −6 | Sí | 3 | 60{3}+12{5}+12{5/2} |
Dodeca- dodecaedro romo invertido | ![]() | | 5/3 2 5 | ![]() 3.5/3.3.3.5 | I | C76 | W114 | U60 | K65 | 60 | 150 | 84 | −6 | Sí | 9 | 60{3}+12{5}+12{5/2} |
Gran icosidodecaedro romo | ![]() | | 2 5/2 3 | ![]() 34.5/2 | I | C73 | W113 | U57 | K62 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 7 | (20+60){3}+12{5/2} |
Gran icosidodecaedro romo invertido | ![]() | | 5/3 2 3 | ![]() 34.5/3 | I | C88 | W116 | U69 | K74 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 13 | (20+60){3}+12{5/2} |
Gran icosidodecaedro retrorromo | ![]() | | 2 3/2 5/3 | ![]() (34.5/2)/2 | I | C90 | W117 | U74 | K79 | 60 | 150 | 92 | 2 | Sí | 37 | (20+60){3}+12{5/2} |
Gran dodecicosi- dodecaedro romo | ![]() | | 5/3 5/2 3 | ![]() 33.5/3.3.5/2 | I | C80 | W115 | U64 | K69 | 60 | 180 | 104 | −16 | Sí | 10 | (20+60){3}+(12+12){5/2} |
Icosidodeca- dodecaedro romo | ![]() | | 5/3 3 5 | ![]() 33.5.3.5/3 | I | C58 | W112 | U46 | K51 | 60 | 180 | 104 | −16 | Sí | 4 | (20+60){3}+12{5}+12{5/2} |
Pequeño icosicosi- dodecaedro romo | ![]() | | 5/2 3 3 | ![]() 35.5/2 | Ih | C41 | W110 | U32 | K37 | 60 | 180 | 112 | −8 | Sí | 2 | (40+60){3}+12{5/2} |
Pequeño icosicosi- dodecaedro retrorromo | ![]() | | 3/2 3/2 5/2 | ![]() (35.5/2)/2 | Ih | C91 | W118 | U72 | K77 | 60 | 180 | 112 | −8 | Sí | 38 | (40+60){3}+12{5/2} |
Gran dirrombicosi- dodecaedro | ![]() | | 3/2 5/3 3 5/2 | ![]() (4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2 | Ih | C92 | W119 | U75 | K80 | 60 | 240 | 124 | −56 | No | 40{3}+60{4}+24{5/2} |
Caso especial
Nombre | Imagen | Símbolo Wythoff | Figura vértices | Simetría | C# | W# | U# | K# | Vért. | Aristas | Caras | Chi | ¿Orien- table? | Dens. | Tipo caras |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Gran dirrombi- dodecaedro | ![]() | | (3/2) 5/3 (3) 5/2 | ![]() (5/2.4.3.3.3.4. 5/3. 4.3/2.3/2.3/2.4)/3 | Ih | — | — | — | — | 60 | 360 (*) | 204 | −96 | No | 120{3}+60{4}+24{5/2} |
El gran dirrombidodecaedro birromo tiene 240 de sus 360 aristas coincidiendo en el espacio en 120 pares. Debido a esta degeneración de aristas, no siempre se considera un poliedro uniforme.
Clave de las columnas
- Indexación uniforme: U01–U80 (el tetraedro con el ídice 1, prismas en 76+)
- Indexación del software Kaleido: K01–K80 (Kn = Un–5 para n = 6 to 80) (prismas 1–5, tetraedro, etc. 6+)
- Modelos de poliedro de Magnus Wenninger: W001-W119
- 1–18: 5 regulares convexos y 13 semirregulares convexos
- 20–22, 41: 4 regulares no convexos
- 19–66: 48 estelaciones/compuestos especiales (los no regulares no incluidos en esta lista)
- 67–109: 43 uniformes no convexos no romos
- 110–119: 10 uniformes romos no convexos
- Chi: la característica de Euler, χ. Los teselados uniformes en el plano corresponden a la topología de un toro, con característica de Euler cero.
- Densidad: la densidad representa el número de vueltas de un poliedro alrededor de su centro. Esto se deja en blanco para poliedros que no son orientables y hemipoliedros (poliedros con caras que pasan por sus centros), para los cuales la densidad no está bien definida.
- Nota sobre las imágenes de figuras de vértices:
- Las líneas blancas del polígono representan el polígono de la "figura de vértice". Las caras coloreadas que se incluyen en los vértices de las figuras ayudan a ver sus relaciones. Algunas de las caras que se cruzan se dibujan visualmente de forma incorrecta porque no se intersecan visualmente correctamente para mostrar qué partes están por delante.
Véase también
- Anexo:Poliedros uniformes por figura de vértice
- Anexo:Poliedros uniformes por símbolo de Wythoff
- Anexo:Poliedros uniformes por el triángulo de Schwarz
- Anexo:Modelos de poliedros de Wenninger
Referencias
Bibliografía
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 401-450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
- Skilling, J. (1975). «The complete set of uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 278 (1278): 111-135. Bibcode:1975RSPTA.278..111S. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333. S2CID 122634260. doi:10.1098/rsta.1975.0022.
- Sopov, S. P. (1970). «A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra». Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156. MR 0326550.
- Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
- Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8.
Enlaces externos
- Stella: Polyhedron Navigator – Software capaz de generar e imprimir redes para todos los poliedros uniformes. Se utiliza para crear la mayoría de las imágenes de esta página.
- Modelos de papel
- Uniform indexing: U1-U80 (el tetraedro con el índice 1)
- Poliedros uniformes (80), Paul Bourke
- Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
- Todos los poliedros uniformes por grupo de rotación
- https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
- http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
- http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
- Kaleido Indexing: K1-K80 (el prisma pentagonal con el índice 1)
- https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
- https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf Solución uniforme para poliedros uniformes
- http://bulatov.org/polyhedra/uniform
- http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html
- https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
- También
- http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm
Datos: Q3253325