Aproximación lineal

En matemáticas, una aproximación lineal es una aproximación de una función cualquiera usando una transformación lineal. Por ejemplo, dada una función diferenciable f de una variable real, se puede expresar (generalizada en el Teorema de Taylor) de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+o(x)}$

donde ${\displaystyle o(x)}$ es una función que representa el error usando la notación de Landau (Así, ${\displaystyle o(x)/x}$ tiende a 0 cuando ${\displaystyle x}$ tiende a ${\displaystyle a}$). La aproximación se obtiene al despreciar la suma de esta función error.

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}$

Lo cual es cierto para los valores de x cercanos a a. La expresión derecha es la de la recta tangente a la gráfica de f en a. Por esta razón también se llama aproximación de la recta tangente

Ejemplo

1.Para encontrar la aproximación lineal de ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$ se hace lo siguiente:

1. Considérese la función ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}$
2. Se tiene la derivada:

   ${\displaystyle f\ '(x)=1/3*x^{-2/3}.}$

3. Según lo ya visto,

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}$

4. El resultado, 2.926, está razonablemente cerca del valor que puede dar una calculadora 2.924…

Véase también

• Linealización