Espinor de Weyl

Un espinor de Weyl o espinor relativista es un tipo de espinor, elemento de un espacio vectorial ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2},\cdot )}$ dotado de una forma simpléctica que le da estructura de variedad simpléctica lineal, usado para representar de manera matemáticamente conveniente cuadrivectores del espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones. Deben su nombre al matemático alemán Hermann Weyl, que los investigó a principios de siglo XX. Los espinores de Weyl generalizan a los espinores de Pauli.

Existe una correspondencia cuadrivectores y ciertas matrices hermíticas expresables como combinación de matrices de Pauli y la identidad. Para construir dicha relación primero representamos cuadrivectores ${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,x,y,z)}$ como matrices, de la siguiente forma:^[1]​

${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,x,y,z)\mapsto \mathbf {\hat {X}} ={\begin{bmatrix}ct+z&x-yi\\x+yi&ct-z\end{bmatrix}}}$

Formalmente esta matriz es un elemento del álgebra de Lie del grupo SL(2,C) que es un espacio vectorial real de dimensión 6, por tanto, isomorofo al espacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$. Denominaremos a las matrices de esta última forma que sí representan puntos del espacio-tiempo de Minkowski como "cuadrivectores de Weyl". Lo interesante de esta forma de representar los cuadrivectores como "cuadrivectores de Weyl" o matirces de sl(2,C), es que las transformaciones de Lorentz propias admiten una representación más simple en términos de estas matrices. Consideremos una transformación de Lorentz del SO(1,3), ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}\in {\text{SO}}^{+}(1,3)}$ y consideremos su actuación sobre el cuadrivector ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {X'} ={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {X} }$

Resulta que se puede alguna matriz ${\displaystyle \mathbf {L} \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ tal que el resultado de la rotación puede calcularse como:

${\displaystyle \mathbf {{\hat {X}}'} ={\begin{bmatrix}ct'+z'&x'-y'i\\x'+y'i&ct'-z'\end{bmatrix}}=\mathbf {L} {\begin{bmatrix}z&x-yi\\x+yi&-z\end{bmatrix}}\mathbf {L} ^{\dagger }}$

donde se tiene también ${\displaystyle \mathbf {{\hat {X}}'} ={\widehat {{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {r} }}}$. De hecho, puesto que SL(2,C) es el grupo topológico que es el recubridor universal de SO(3,1), siendo como espacio recubridor un espacio que recubre dos veces la matriz ${\displaystyle \mathbf {L} }$ no es única, de hecho tanto ${\displaystyle \mathbf {L} }$ como su opuesta ${\displaystyle -\mathbf {L} }$ satisfacen la relación anterior. Otra propiedad notoria es que el determinante de la matriz que representa a un cuadrivector, coincide numéricamente con la pseudonorma del cuadrivector:

${\displaystyle -\det {\begin{bmatrix}ct+z&x-yi\\x+yi&ct-z\end{bmatrix}}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=|\mathbf {X} |^{2}}$

El espacio de espinores de Weyl ${\displaystyle S_{W}=(\mathbb {C} ^{2},{\boldsymbol {\epsilon }})}$ está formado por pares de números complejos ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})\in S_{P}}$ cuya forma simpléctica se define como:

${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {\psi }},{\boldsymbol {\phi )}}={\begin{bmatrix}{\phi }_{1}&{\phi }_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\phi }_{1}\\{\phi }_{2}\end{bmatrix}}={\psi }_{1}\phi _{2}-{\psi }_{2}\phi _{1}}$

El producto tensorial de dos espinores se transforma como un cuadrivector, es decir, la combinación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct+z&x-yi\\x+yi&ct-z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\psi }^{1}\\{\psi }^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\phi }_{1}&{\phi }_{2}\end{bmatrix}}=:{\boldsymbol {\psi }}\otimes {\boldsymbol {\phi }}}$

Nótese que cualquier "cuadrivector isótropo" o "de tipo luz" (con ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=0}$) se puede expresar como producto de dos espinores de Weyl que tienen componentes iguales a ${\displaystyle |\psi ^{1}|={\sqrt {ct+z}}}$, ${\displaystyle |\psi ^{2}|={\sqrt {ct-z}}}$ y ${\displaystyle {\text{arg}}(\psi /\psi ^{2})=arctan(y/x)}$. Igualmente se puede demostrar que ciertos productos con un número par de espinores de Weyl dan lugar a una mangitud que bajo transformaciones de Lorentz se transforma como una magnitud tensorial ordinaria. Sin embargo, los productos de un número impar de espinores de Weyl, son propiamente magnitudes espinoriales, y por tanto, bajo una rotación ${\displaystyle 2\pi }$ alrededor de un eje fijo cambian de signo y, por tanto, no pueden ser interpretados como magnitudes tensoriales.

• Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), «Spinors in n dimensions», American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 57 (2): 425-449, JSTOR 2371218, doi:10.2307/2371218 ..
• Cartan, Élie (1913), «Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane», Bul. Soc. Math. France 41: 53-96, doi:10.24033/bsmf.916 ..
• Cartan, Élie (1966), The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9 .
• Dirac, Paul M. (1928), «The quantum theory of the electron», Proceedings of the Royal Society of London, A117 (778): 610-624, JSTOR 94981, doi:10.1098/rspa.1928.0023 ..
• Hitchin, Nigel J. (1974), «Harmonic spinors», Advances in Mathematics 14: 1-55, MR 358873, doi:10.1016/0001-8708(74)90021-8 ..
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0 ..
• Pauli, Wolfgang (1927), «Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons», Zeitschrift für Physik 43 (9–10): 601-632, Bibcode:1927ZPhy...43..601P, doi:10.1007/BF01397326 ..
• Penrose, Roger; Rindler, W. (1988), Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry, Cambridge University Press, ISBN 0-521-34786-6 ..
• Tomonaga, Sin-Itiro (1998), «Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor», The story of spin, University of Chicago Press, p. 129, ISBN 0-226-80794-0 .