Sundaramen bahea

1934an, indiar ikasle gazte batek, Sundaramek, zenbaki lehenak aurkitzeko Eratostenesen bahearen ordez, honako taula numerikoa proposatu zuen:

• Lehenengo errenkadan eta zutabean 4, 7, 10…, 3n+1,… progresio aritmetikoaren gaiak jarri ondoren, beste errenka eta zutabeak eraikitzen dira.

• Bigarren errenkada eta zutabea diferentzia 5 duen segida aritmetikoa.
• Hirugarrena diferentzia 7 duen segida,
• Laugarrena 9 diferentziakoa.
• Horrela jarraian segiden diferentzia zenbaki bakoitien progresioaren gaiak izanik, ${\displaystyle d=\{3,5,7,9,...,2n-1,...\}}$.

Taula honetan falta diren balioek zenbaki lehenen sortzaileak dira:

• ${\displaystyle N}$ zenbakia taulan ez badago, orduan ${\displaystyle 2N+1}$ zenbaki lehena da.
• ${\displaystyle N}$ taulan badago, orduan ${\displaystyle 2N+1}$ ez da lehena.

${\displaystyle {\ce {Adibideak}}}$

${\displaystyle N\ taulan\ ez}$	${\displaystyle 2N+1}$		${\displaystyle N\ taulan\ }$	${\displaystyle 2N+1}$
1	3		4	${\displaystyle 9=3\cdot 3}$
2	5		7	${\displaystyle 15=3\cdot 5}$
3	7		10	${\displaystyle 21=3\cdot 7}$
5	11		12	${\displaystyle 25=5\cdot 5}$
6	13		13	${\displaystyle 27=3\cdot 9}$
8	17		17	${\displaystyle 35=5\cdot 7}$
...	...		...	...
	Lehenak			Konposatuak

${\displaystyle N\ taulan\ badago\Longrightarrow 2N+1\ ez\,da\ lehena}$

Taulako elementuak, ${\displaystyle m}$ zutabearen eta ${\displaystyle n}$ errenkaren menpe adierazi daitezke.

Lehenengo zutabeko elementuak ${\displaystyle 3n+1}$ segidako gaiak dira. ${\displaystyle n}$-garren errenkadako ondorengo gaiakak ${\displaystyle 2n+1}$ batuz lortzen dira,

honela ${\displaystyle n}$. errenkada eta ${\displaystyle m}$. zutabeko gaia: ${\displaystyle N=3n+1+(m-1)(2n+1)=3n+1+2mn+m-2n-1=n(2m+1)+m}$

Taulako ${\displaystyle N=n(2m+1)+m}$ zenbakiaren bikoitzari 1 batzen bazaio, ${\displaystyle 2N+1=2(n(2m+1)+m)+1=2n(2m+1)+2m+1=(2m+1)(2n+1)}$

Ondorioz, ${\displaystyle N}$ taulan badago, ${\displaystyle 2N+1}$ zenbaki konposatua da

${\displaystyle N\ taulan\ ez\,badago\Longrightarrow 2N+1\ zenbaki\ blehena\,da}$

Frogatuko dugu baliokidea den honako proposizioa: ${\displaystyle 2N+1\ ez\ bada\,lehena\Longrightarrow N\ zenbakia\ taulan\,dago}$

${\displaystyle 2N+1}$ lehena ez bada, existituko dira berdin 1 ez diren ${\displaystyle a=2m+1}$ eta ${\displaystyle a=2n+1}$ zenbaki bakoitiak non:

${\displaystyle 2N+1=ab=(2m+1)(2n+1)=2\cdot 2mn+2n+2m+1}$

${\displaystyle 2N=2\cdot 2mn+2n+2m}$

${\displaystyle N=2mn+n+m}$

${\displaystyle N=n(2m+1)+m}$

Beraz, ${\displaystyle N}$ zenbakia taulan dago ${\displaystyle n}$. errenkadan eta ${\displaystyle m}$. zutabean.

Ondorioz, ${\displaystyle 2N+1}$ lehena da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle N}$ taulan ez badago.

• Datuak: Q2389810