Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0}$, niin on voimassa

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$.

Jos lukujen ${\displaystyle x_{i}}$ oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin ${\displaystyle 1/x_{1},1/x_{2},\cdots ,1/x_{n}}$, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}\geq {\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\ldots +\lambda _{n}a_{n}\geq a_{1}^{\lambda _{1}}a_{2}^{\lambda _{2}}\cdots a_{n}^{\lambda _{n}},}$

eli

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}a_{i}^{\lambda _{i}}.}$

Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön avulla voidaan todistaa vaikkapa eksponenttifunktion olevan äärellinen kaikilla reaaliluvuilla: Todistetaan ensin, että ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\leq e^{x}.}$ Määritellään ${\displaystyle a_{n}=(1+{\frac {x}{n}})^{n}}$, jolloin on riittävää osoittaa että ${\displaystyle a_{n}}$ on kasvava kun ${\displaystyle n>|x|}$. Tämä seuraa, kun valitaan aritmeettis-geometrisessa epäyhtälössä n kappaletta lukuja ${\displaystyle 1+{\frac {x}{n}}}$ ja kerran ${\displaystyle 1}$. Toisaalta epäyhtälö ${\displaystyle e^{x}\leq \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{-n}}$ seuraa edellisestä, kun epäyhtälössä kirjoitetaan ${\displaystyle x}$:n paikalle ${\displaystyle -x}$.

Olkoot epänegatiiviset luvut ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ja epänegatiiviset painot ${\displaystyle w_{1}\ldots ,w_{n}}$ annettu. Asetetaan ${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$. Jos ${\displaystyle w>0}$, on voimassa

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

ja yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos kaikki ${\displaystyle x_{k}}$, joilla ${\displaystyle w_{k}>0}$, ovat yhtäsuuria. Tässä on oletettu, että ${\displaystyle 0^{0}=1}$.

Jos kaikki ${\displaystyle w_{k}=1}$, epäyhtälö palautuu tavalliseksi aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi.

Muita aritmeettis-geometrisen epäyhtälön yleistyksiä ovat Muirheadin epäyhtälö, Maclaurinin epäyhtälö sekä potenssikeskiarvoepäyhtälö.