Jatkuvien funktioiden väliarvolause. Huomaa, että kuvassa c ei ole sup S, vaan kuvaa yleistä tapausta (jollakin c pätee f(c) = u).
Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus.
Lause kuuluu seuraavasti: olkoon jatkuva funktio suljetulta väliltä reaalilukujen joukolle . Olkoon reaaliluku, joka toteuttaa ehdon tai . Tällöin (avoimen) välin jollekin pisteelle pätee .[1]
Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4.
Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota , jolloin ja . Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa , jolla .
Sisällys
1Todistus
2Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella
2.1Lemma
2.1.1Lemman todistus
3Lähteet
4Kirjallisuutta
5Aiheesta muualla
Todistus
Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).
Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.
Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli , on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että | f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).
Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että | f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).
Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □[2]
Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella
Lemma
Jos funktio on jatkuva pisteessä ja , niin on olemassa siten, että , kun .
Jos funktio on jatkuva pisteessä ja , niin on olemassa siten, että , kun .
Lemman todistus
Todistetaan tapaus . Tapaus todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota .
Koska on jatkuva pisteessä ja , niin on olemassa siten, että
kun
Tällöin
joten
kun
Täten
kun
Olkoot , ja . Tapaus, jossa ja , todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota .
Olkoon joukko . Koska , niin . Koska ja on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa . Koska on jatkuva välillä ja , niin lemman nojalla on olemassa siten, että ja , kun . Koska on jatkuva välillä ja , niin lemman nojalla on olemassa siten, että ja , kun . Täten . Olkoon .
Väite: .
Tehdään vastaoletus: .
Koska on jatkuva välillä , niin lemman nojalla on olemassa siten, että ja joko tai , kun .
Jos , kun , niin on joukon yläraja. Tällöin ei ole joukon pienin yläraja. Jos , kun , niin ei ole joukon yläraja.
Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että . Täten alkuperäinen väite pätee eli pätee.
Siis todistettin, että jos on jatkuva funktio välillä , ja , niin on olemassa siten, että .
Lähteet
↑Adams, Robert A.: ”1.4”, Calculus: A Complete Course, s. 82. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
↑Adams, Robert A.: ”Appendix III:Continuous Functions”, Calculus: A Complete Course, s. A-25. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
Kirjallisuutta
Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).