Kokonaisalue

Rengasta ${\displaystyle R}$ kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos ${\displaystyle R}$ on kommutatiivinen, ${\displaystyle 0\neq 1}$, ja ${\displaystyle R}$:ssä ei ole nollanjakajia.^[1][2] Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$, missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki ${\displaystyle ab=ac\Rightarrow b=c}$.

Tästä artikkelista poiketen joskus harvoin sallitaan myös ei-kommutatiiviset kokonaisalueet ja jopa ei-ykköselliset kokonaisalueet ja renkaat (pseudorenkaat).

Se, että ${\displaystyle R}$:ssä ei ole nollanjakajia, tarkoittaa, että ${\displaystyle ab=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0}$.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

Alkion ${\displaystyle a}$ monikerta on ${\displaystyle na=a+a+\cdots +a}$, missä yhteenlaskettavia on n kappaletta. Jos kokonaisalueen D alkion a monikerta ${\displaystyle na}$ on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla n, kun a on nollasta poikkeava, niin jokaisella D:n alkiolla b tulo nb on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon a nollasta poikkeava kokonaisalueen D alkio ja olkoon D:n karakteristika n. Tällöin ${\displaystyle na=a+...+a=a\cdot 1+\ldots +a\cdot 1=a\cdot (1+\ldots +1)=a\cdot (n1)}$, joten jos ${\displaystyle a\neq 0}$, niin täytyy olla ${\displaystyle n1=0}$, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä b:llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön ${\displaystyle nb=0}$.

Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua n sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char(D) = n. Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char(D) = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char(D) = n, ${\displaystyle n\neq 0}$. ${\displaystyle n=n_{1}n_{2}}$. Tällöin ${\displaystyle n1=(n_{1}1)(n_{2}1)}$ ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on ${\displaystyle n_{1}1=0}$ tai ${\displaystyle n_{2}1=0}$. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan ${\displaystyle n_{1}1=0}$. Luku n on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli ${\displaystyle n_{1}=n}$. Siispä luvulla n ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.

Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen D karakteristika on nolla, on D:ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.

Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta. Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.

Tulos voidaan perustella seuraavasti:

Olkoon ${\displaystyle R}$ äärellinen kokonaisalue, ${\displaystyle m}$ kokonaisalueen ${\displaystyle R}$ alkioiden lukumäärä ja ${\displaystyle a}$ jokin sen nollasta eroava alkio. Olkoot ${\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{m}}$ kokonaisalueen R erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot ${\displaystyle b_{1}a,b_{2}a,...,b_{m}a}$ ovat keskenään erisuuria. Jos nimittäin olisi ${\displaystyle b_{i}a=b_{j}a}$ erisuurilla indeksien ${\displaystyle i}$ ja ${\displaystyle j}$ arvoilla, niin olisi ${\displaystyle (b_{i}-b_{j})a=0}$. Tällöin ${\displaystyle b_{i}-b_{j}}$ ja ${\displaystyle a}$ olisivat kokonaisalueen ${\displaystyle R}$ nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot ${\displaystyle b_{1}a,b_{2}a,...,b_{m}a}$ käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen ${\displaystyle R}$ alkiot. Erityisesti ${\displaystyle b_{k}a=1}$ jollakin ${\displaystyle k=1,...,m}$. Alkio ${\displaystyle b_{k}}$ on tällöin alkion ${\displaystyle a}$ käänteisalkio.

• Kokonaislukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ on kokonaisalue.
• Jokainen kunta on kokonaisalue.
• Jos ${\displaystyle R}$ on kokonaisalue, ${\displaystyle R}$-kertoimisten polynomien joukko ${\displaystyle R[x]}$ on kokonaisalue, samoin ${\displaystyle n}$ muuttujan polynomien joukko ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 197. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 190. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.