Popoviciun epäyhtälö

Popoviciun epäyhtälö on konveksissa analyysissä konvekseja funktioita koskeva epäyhtälö. Se on samantapainen kuin Jensenin epäyhtälö ja sen löysi vuonna 1965 romanialainen matemaatikko Tiberiu Popoviciu. Epäyhtälö kuuluu näin:

Olkoon ƒ funktion väliltä ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ joukkoon ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Jos ƒ on konveksi, niin kaikilla ${\displaystyle x,y,z\in I}$ on voimassa

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad {\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\\[6pt]&\geq {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Epäyhtälö voidaan yleistää n pisteelle:

Olkoon ƒ jatkuva kuvaus joukosta ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ joukkoon ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Tällöin ƒ on konveksi jos ja vain jos kaikilla kokonaisluvuilla n ja k, missä n ≥ 3 ja ${\displaystyle 2\leq k\leq n-1}$, ja kaikilla ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ on voimassa

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad {\frac {1}{k}}{\binom {n-2}{k-2}}\left({\frac {n-k}{k-1}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})+nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\right)\\[6pt]&\geq \sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}f\left({\frac {1}{k}}\sum _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)\end{aligned}}}$

Popoviciun epäyhtälö yleistyy myös painotetuksi epäyhtälöksi.