Separaatio (matematiikka)

Separaatio topologiassa on topologisen avaruuden ${\displaystyle X}$ joukon ${\displaystyle E\subseteq X}$ jako kahdeksi osajoukoksi ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

1. ${\displaystyle E=A\cup B}$,
2. ${\displaystyle A\neq \emptyset \neq B}$,
3. ${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}}$.

${\displaystyle {\overline {A}}}$ tarkoittaa joukon A sulkeumaa.

Sen sijaan leikkauksen ${\displaystyle {\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$ ei tarvitse olla tyhjä.

${\displaystyle E}$:n separaatio ${\displaystyle \{A,\ B\}}$ merkitään ${\displaystyle E=A\mid B}$.

Mikäli ${\displaystyle E}$:llä ei ole separaatiota, on se yhtenäinen.

Olkoon ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ja ${\displaystyle E=\ ]0,2[\ \setminus \ \{1\}}$. Toisin sanoen ${\displaystyle E=A\cup B}$, jossa ${\displaystyle A=\ ]0,1[}$ ja ${\displaystyle B=\ ]1,2[}$. Nyt ${\displaystyle {\overline {A}}=\ [0,1]}$ ja ${\displaystyle {\overline {B}}=\ [1,2]}$, joten ${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}}$. Täten ${\displaystyle E}$ separoituu. Huomaa, että ${\displaystyle {\overline {A}}\cap {\overline {B}}=\{1\}\neq \emptyset }$.

• Yhtenäisyys

Väisälä, J. 2005. Topologia II, 2., korjattu painos. Helsinki. Limes ry. 105–106. ISBN 951-745-209-8.