Youngin epäyhtälö

Matematiikassa Youngin epäyhtälön mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b, p ja q, joille 1/p + 1/q = 1, on voimassa

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

Yhtäsuuruus on voimassa kun ${\displaystyle a^{p}=b^{q}}$.

Youngin epäyhtälö on erikoistapaus painotetusta aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.

Youngin epäyhtälöä käytetään todistamaan Hölderin epäyhtälö.

Tiedetään, että ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ on konveksi, sillä sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen. Siten

${\displaystyle ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}}$.

Tässä on käytetty konveksin funktion määritelmää:

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)}$ kaikilla 0≤t≤1.

http://math.stackexchange.com/questions/259826/purely-algebraic-proof-of-youngs-inequality Erilaisia todistuksia Youngin epäyhtälölle (englanniksi)