En géométrie, les coordonnées trilinéaires d'un point relativement à un triangle donné, notées (x : y : z) sont, à une constante multiplicative strictement positive près, les distances algébriques relativement aux côtés (étendus) du triangle.
Pour un triangle ABC, le rapport x / y est le rapport des distances algébriques du point aux côtés (BC) et (AC) respectivement et ainsi de suite par permutation sur A, B, C.
Le signe d'une coordonnée trilinéaire indique si le point est intérieur au triangle par rapport à un côté : par exemple, la coordonnée x est positive s'il se trouve du même côté que A par rapport à la droite (BC). Il est ainsi impossible que les trois coordonnées trilinéaires soient négatives.
Détermination des coordonnées trilinéaires
L'aire algébrique d'un triangle XYZ est , positive si XYZ est direct, négative sinon. Or où h est la distance algébrique de X à la droite (YZ) orientée de Y vers Z. Pour un triangle ABC de sens direct et de côtés de longueur BC = a, AC = b, AB = c, les coordonnées trilinéaires d'un point M sont donc :
ou
.
Le triplet étant un triplet de coordonnées barycentriques de M, on en déduit que si M a pour coordonnées trilinéaires (x : y : z), il a pour coordonnées barycentriques (ax , by , cz).
Exemples
Voici les coordonnées trilinéaires de quelques points remarquables du triangle :
On trouvera dans l'encyclopédie des centres de triangle (ETC) les coordonnées trilinéaires de milliers de points remarquables du triangle.
Équation de droite à partir de coordonnées trilinéaires
Pour un point de coordonnées trilinéaires (x : y : z), l'équation
est l'équation d'une droite, appelée droite centrale liée au point considéré[1].
Pour deux points de coordonnées trilinéaires (x : y : z) et (x' : y' : z'), l'équation de la droite passant par ces deux points est donnée par :
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trilinear coordinates » (voir la liste des auteurs).
↑H. Faure, « Extrait d’un mémoire sur les coordonnées trilinéaires », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 2, no 2, , p. 289-300 (lire en ligne)