Critère d'irréductibilité de Cohn
En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.
Énoncé
Si un nombre premier p s'écrit en base dix sous la forme
alors le polynôme
est irréductible dans .
Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier b ≥ 2, un polynôme de la formeest irréductible dans dès que P(b) est premier.
Notes historiques
La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn[1] – un étudiant d'Issai Schur[2] – par Pólya et Szegő[3] et sa généralisation à une base quelconque b ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko[4].
En 2002, M. Ram Murty a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème[5], démontrant également la variante suivante : Soit et . S'il existe un entier b ≥ H + 2 tel que P(b) est premier, alors P est irréductible sur ℤ.
Raisonnons par contraposition, en supposant P réductible et en montrant qu'alors, pour tout entier b ≥ H + 2, P(b) est composé.
Soient donc tels que P = QR.
- Si Q n'est pas constant alors avec, puisque chaque est une racine de P, (cf. Racine d'un polynôme réel ou complexe#Une première estimation) donc .
- Si Q est constant alors et l'on a évidemment encore |Q(b)| > 1.
Même raisonnement pour R, donc P(b) = Q(b)R(b) avec |Q(b)|, |R(b)| > 1.
Notes et références
- ↑ Ne pas confondre avec Paul Cohn.
- ↑ (en) « Arthur Cohn », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
- ↑ (de) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. II, Springer, , 4e éd. (1re éd. 1925) (lire en ligne), p. 351 – traduction : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer, (lire en ligne), p. 330.
- ↑ (en) John Brillhart, Michael Filaseta et Andrew Odlyzko, « On an irreducibility theorem of A. Cohn », CJM, vol. 33, no 5, , p. 1055-1059 (lire en ligne).
- ↑ (en) M. Ram Murty, « Prime numbers and irreducible polynomials », Amer. Math. Month., vol. 109, no 5, , p. 452-458 (lire en ligne [dvi]).
Articles connexes
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