Foncteur essentiellement surjectif

En théorie des catégories, un foncteur est dit essentiellement surjectif si chaque objet de la catégorie d'arrivée est isomorphe à un objet image du foncteur.

Définition formelle

Soient C et D deux catégories. Un foncteur F : C → D est dit essentiellement surjectif si pour tout objet Y de D, il existe un objet X de C tel que ${\displaystyle F(X)\cong Y}$, c'est-à-dire qu'il existe dans ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),Y)}$ un isomorphisme.

Propriétés

L'une des seules utilités pour un foncteur d'être essentiellement surjectif, est que s'il est aussi pleinement fidèle, il définit alors une équivalence de catégories.

Exemples

• Le foncteur d'abélianisation Ab : Grp → Ab, de la catégorie des groupes vers celle des groupes abéliens, est essentiellement surjectif, car tout groupe abélien est isomorphe à l'abélianisé de son groupe sous-jacent.
• Lorsque la classe fonctionnelle d'objets associée est surjective, le foncteur est trivialement essentiellement surjectif.
• Lorsque tous les objets de la catégorie d'arrivée sont isomorphes entre eux, le foncteur est aussi trivialement essentiellement surjectif.

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