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Fonction hypergéométrique confluente. La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) est : 1 F 1 ( a ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( c ) n z n n ! {\displaystyle _{1}F_{1}(a;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}}
Elle est solution de l'équation différentielle d'ordre deux, appelée équation de Kummer :
z d 2 u ( z ) d z 2 + ( c − z ) d u ( z ) d z − a u ( z ) = 0 {\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}u(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-z){\frac {\mathrm {d} u(z)}{\mathrm {d} z}}-au(z)=0} Elle est aussi définie par : 1 F 1 ( a ; c ; z ) = M ( a ; c ; z ) = {\displaystyle _{1}F_{1}(a;c;z)=M(a;c;z)=}
1 B ( a , c − a ) ∫ 0 1 u a − 1 ( 1 − u ) c − a − 1 e z u d u {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} (a,c-a)}}{\int _{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{c-a-1}\mathrm {e} ^{zu}\,du}} fonction gamma incomplète , les fonctions génératrices des moments des distributions bêta et bêta prime , les fonctions cylindre parabolique ou encore les polynômes d'Hermite et les polynômes de Laguerre peuvent être représentés à l'aide de fonctions hypergéométriques confluentes (cf. Slater). Whittaker a introduit des fonctions M μ , ν ( z ) {\displaystyle M_{\mu ,\nu }(z)} W μ , ν ( z ) {\displaystyle W_{\mu ,\nu }(z)}
Résolution de l'équation différentielle L'équation z d 2 u ( z ) d z 2 + ( c − z ) d u ( z ) d z − a u ( z ) = 0 {\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}u(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+(c-z){\frac {\mathrm {d} u(z)}{\mathrm {d} z}}-au(z)=0} méthode de Frobenius , on choisit l'ansatz :
u ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ a n z n + r , ( a 0 ≠ 0 ) , r ∈ R . {\displaystyle u(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a_{n}z^{n+r}},\qquad (a_{0}\neq 0),r\in \mathbb {R} .} Il vient l’équation :
z r ∑ n = 0 + ∞ a n [ ( ( n + r ) ( n + r − 1 ) + c ( n + r ) ) z n − 1 − ( ( n + r ) + a ) z n ] = 0 {\displaystyle z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}[\left((n+r)(n+r-1)+c(n+r)\right)z^{n-1}-\left((n+r)+a\right)z^{n}]=0} qui devient
z r − 1 a 0 r c + z r ∑ n = 0 + ∞ a n + 1 [ ( ( n + r + 1 ) ( n + r ) + c ( n + r + 1 ) ) z n ] − a n ( ( n + r ) + a ) z n = 0 {\displaystyle z^{r-1}a_{0}rc+z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n+1}[\left((n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)\right)z^{n}]-a_{n}\left((n+r)+a\right)z^{n}=0} Comme le coefficient devant z r − 1 {\displaystyle z^{r-1}} r = 0 {\displaystyle r=0} relation de récurrence entre les coefficients :
a n + 1 = a n ( n + a ) ( n + 1 ) ( n + c ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}(n+a)}{(n+1)(n+c)}}} On choisit a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}
a 1 = a c a 2 = a ( a + 1 ) 2 c ( c + 1 ) a 3 = a ( a + 1 ) ( a + 2 ) 6 c ( c + 1 ) ( c + 2 ) . . . a n = ( a ) n ( c ) n n ! {\displaystyle a_{1}={\frac {a}{c}}\quad a_{2}={\frac {a(a+1)}{2c(c+1)}}\quad a_{3}={\frac {a(a+1)(a+2)}{6c(c+1)(c+2)}}\quad ...\quad a_{n}={\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}n!}}} et finalement u ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( c ) n z n n ! {\displaystyle u(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}
Deuxième solution L'équation différentielle de Kummer étant du second degré, elle admet deux solutions (et toutes leurs combinaisons linéaires ). La deuxième solution est
z 1 − c 1 F 1 ( a + 1 − c ; 2 − c ; z ) {\displaystyle {z^{1-c}}{_{1}F_{1}(a+1-c;2-c;z)}} Tricomi a calculé une combinaison linéaire indépendante de M ( a ; c ; z ) {\displaystyle M(a;c;z)}
U ( a ; c ; z ) = Γ ( a ) 1 F 1 ( a ; c ; z ) + z 1 − c Γ ( 1 / c ) 1 F 1 ( a + 1 − c ; 2 − c ; z ) = z − a 2 F 0 ( a ; a − c + 1 ; 1 z ) {\displaystyle U(a;c;z)={\Gamma (a)}{_{1}F_{1}(a;c;z)}+{z^{1-c}\Gamma (1/c)}{_{1}F_{1}(a+1-c;2-c;z)}=z^{-a}{_{2}F_{0}\left(a;a-c+1;{\frac {1}{z}}\right)}} On désigne alors M comme la fonction hypergéométrique confluente de première espèce et U comme la fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce .
Liens avec d'autres fonctions Les polynômes de Laguerre généralisés peuvent s'exprimer à partir de la fonction hypergéométrique confluente :
∀ n ∈ N , ∀ α > − 1 , L n ( α ) ( x ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + 1 ) 1 F 1 ( − n ; α + 1 ; x ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall \alpha >-1,\ L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +1)}}{_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x)}} On peut retrouver des fonctions usuelles comme cas particuliers des fonctions hypergéométriques confluentes :
M ( a , a , z ) = e z {\displaystyle M(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}} M ( 1 , 1 , 2 z ) = e z z sinh ( z ) {\displaystyle M(1,1,2z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}\sinh(z)} M ( a , a , z ) = e z {\displaystyle M(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}} M ( 0 , c , z ) = U ( 0 , c , z ) = 1 {\displaystyle M(0,c,z)=U(0,c,z)=1} U ( a , a + 1 , z ) = 1 z a {\displaystyle U(a,a+1,z)={\frac {1}{z^{a}}}} M ( a , a + 1 , − z ) = a z a γ ( a , z ) , U ( a , a , z ) = e z Γ ( 1 − a , z ) {\displaystyle M(a,a+1,-z)={\frac {a}{z^{a}}}\gamma (a,z),\ U(a,a,z)=\mathrm {e} ^{z}\Gamma (1-a,z)} γ et Γ désignent les fonctions gamma incomplètes Bibliographie (en) Edmund Taylor Whittaker, « An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions », Bull. Amer. Math. Soc. vol. 10, no 3, 1903 , p. 125-134 (lire en ligne) (en) Lucy Joan Slater , Handbook of Mathematical Functions p. 503 (lire en ligne) , « Confluent hypergeometric functions » (en) Francesco Giacomo Tricomi , « Fonctions hypergéométriques confluentes », Mémorial des sciences mathématiques Gauthier-Villars , vol. 140, 1960 (lire en ligne) Voir aussi Liens externes Portail de l'analyse 
![{\displaystyle z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}[\left((n+r)(n+r-1)+c(n+r)\right)z^{n-1}-\left((n+r)+a\right)z^{n}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5092f4b9e12e67581a1857f0dfe0a47db9be4d12)
![{\displaystyle z^{r-1}a_{0}rc+z^{r}\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n+1}[\left((n+r+1)(n+r)+c(n+r+1)\right)z^{n}]-a_{n}\left((n+r)+a\right)z^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8739807000010bd42d7e88d23273e2c5c07a8e8c)
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