Fonction logarithmiquement convexe
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction à valeurs strictement positives est dite logarithmiquement convexe si sa composée par le logarithme népérien est convexe.
Définition formelle
Soient un intervalle réel et . On dit que est logarithmiquement convexe si, pour tous points de et tout , on a l'inégalité suivante :
- ,
soit encore, en prenant l'exponentielle :
- .
De façon équivalente, est logarithmiquement convexe si pour tout intervalle non trivial , les réels déterminés par vérifient :
- .
Exemples
- Pour tout a > 0, l'exponentielle de base a est logarithmiquement convexe.
- Toute fonction génératrice des moments est logarithmiquement convexe.
- Pour toute mesure μ (sur un espace mesurable) et toute fonction f ∈ Lp(μ)∩Lq(μ) avec 0 < p < q, l'application est logarithmiquement convexe sur [p, q].
- La fonction gamma est logarithmiquement convexe sur [1]. Une caractérisation de la fonction gamma par la log-convexité est donnée par le théorème de Bohr-Mollerup.
- La fonction zêta de Riemann est logarithmiquement convexe sur .
Une caractérisation
est logarithmiquement convexe si et seulement si pour tout , l'application est convexe.
Fixons un intervalle non trivial et démontrons, pour tout , l'équivalence , où les prédicats traduisent respectivement la convexité logarithmique de et la convexité de pour tout :
les réels étant ceux déterminés par
- car et .
- car si alors, pour tout , , puisque est convexe et coïncide avec aux points et .
Propriétés
- Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe.
C'est un corollaire de la caractérisation ci-dessus[2].
La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple de la fonction x ↦ x2. - La somme et le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
Ces deux propriétés se déduisent du fait que la somme de deux fonctions convexes est convexe, en utilisant l'équation fonctionnelle du logarithme pour la stabilité par produit, et la caractérisation ci-dessus pour la stabilité par somme[3].
Généralisation aux fonctions d'une variable vectorielle
Soient un espace vectoriel réel et un convexe de .
Une application est dite logarithmiquement convexe si est convexe sur C.
Les deux propriétés ci-dessus s'étendent immédiatement à ce cadre, puisqu'une fonction est convexe sur C si et seulement si sa « restriction » à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle t ∈ [0, 1].
De même, on déduit facilement de la caractérisation ci-dessus qu'une application est logarithmiquement convexe sur C si et seulement si, pour toute forme linéaire sur , l'application est convexe[4].
Notes et références
- ↑ Pour une généralisation, voir Artin 2015, p. 10, Theorem 1.9.
- ↑ Pour une démonstration plus directe, cf. Propriété 9 de la leçon « Fonctions convexes » sur Wikiversité.
- ↑ Pour une autre démonstration de la stabilité par somme, voir Artin 2015, p. 8-9, Theorem 1.8.
- ↑ Démontré sous des hypothèses supplémentaires dans Hiriart-Urruty 2009, p. 30-31, exercice I.15.
Voir aussi
Bibliographie
- (en) Emil Artin, The Gamma function, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne) (traduction par Michael Butler de (de) Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931)
- (en) Stephen Boyd et Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 104-108
- Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, (1re éd. 1998, PUF) (lire en ligne)
Articles connexes
- Fonction logarithmiquement concave (en)
- Théorème des trois cercles de Hadamard
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