Inégalité de Popoviciu
En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu[1].
Énoncé
- Soit f une fonction d'un intervalle dans . Si f est convexe, alors, pour trois points quelconques x, y et z de I[2],[3],
Supposons f convexe. Sans perte de généralités, supposons : et ,
Alors :
On peut donc trouver tels que :
En additionnant et multipliant les deux égalités ensemble, on obtient :
Si , ce qui conclut. Sinon, on a et :
En sommant les trois inégalités et en multipliant par 2/3, on a bien l'inégalité de Popoviciu. Le cas est analogue.
- Si une fonction f est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout x, y et z de I. Lorsque f est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour x = y = z.
Généralisation
Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois[4] :
- Soit f une fonction continue d'un intervalle dans . Alors f est convexe si et seulement si, pour tout entier n et k où n ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ n–1 et n points quelconques x1, ..., xn de I,
L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondérée[5],[6],[7]. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en lien Zentralblatt MATH[8].
Notes et références
- ↑ Tiberiu Popoviciu, « Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes », Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11, , p. 155–164
- ↑ Constantin Niculescu et Lars-Erik Persson, Convex functions and their applications: a contemporary approach, Springer Science & Business, (ISBN 978-0-387-24300-9, lire en ligne), p. 12
- ↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 289-290
- ↑ (en) J. E. Pečarić, Frank Proschan et Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Boston, Academic Press, (ISBN 978-0-12-549250-8, lire en ligne), p. 171
- ↑ P. M. Vasić et Lj. R. Stanković, « Some inequalities for convex functions », Math. Balkanica, no 6 (1976), , p. 281–288
- ↑ (en) Darij Grinberg, « Generalizations of Popoviciu's inequality », .
- ↑ M.Mihai et F.-C. Mitroi-Symeonidis, « New extensions of Popoviciu's inequality », Mediterr. J. Math., Volume 13, no 5, , p. 3121-3133 (ISSN 1660-5446, DOI 10.1007/s00009-015-0675-3)
- ↑ Page 1, Page 2
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