Les processus de naissance et de mort sont des cas particuliers de processus de Markov en temps continu où les transitions d'état sont de deux types seulement : les «naissances» où l'état passe de n à n+1 et les morts où l'état passe de n à n-1.
Ces processus ont de nombreuses applications en dynamique des populations et dans la théorie des files d'attente. Le processus est spécifié par les taux de naissance et les taux de mortalité .
Conditions de récurrence et de fugacité
Les conditions de la récurrence et de la fugacité ont été établies par Samuel Karlin and James McGregor[1].
Un processus de naissance et de mort est récurrent si et seulement si
Un processus de naissance et de mort est ergodique si et seulement si
Un processus de naissance et de mort est null-récurrent si et seulement si
Les conditions de récurrence, de fugacité, d’ergodicité et de récurrence nulle peuvent être dérivées sous une forme plus explicite[2].
Pour les entiers , laisser désignent le ème itération du logarithme népérien, c’est-à-dire , et pour tout , .
Ensuite, les conditions de récurrence et de fugacité d’un processus de naissance et de mort sont les suivants.
Le processus de naissance et de mort est transitoire s’il existe , et , de telle sorte que, pour tous
,
où la somme vide de est supposé être égal à 0.
Le processus de naissance et de mort est récurrent s’il existe et , de telle sorte que, pour tous
,
Des classes plus larges de processus de naissance et de mort, pour lesquels les conditions de récurrence et de fugacité peuvent être établies, peuvent être trouvées dans [3]
Application
Considérez la marche aléatoire unidimensionnelle , , qui se définit comme suit. Laisser et , , où prend des valeurs , et la distribution des est défini par les conditions suivantes:
où satisfont à la condition , .
La marche aléatoire décrite ici est un analogue temporel discret du processus de naissance et de mort (voir chaîne de Markov) avec les taux de natalité
et taux de mortalité
Ainsi, la récurrence ou la fugacité de la marche aléatoire est associée à la récurrence ou à la fugacité du processus de naissance et de mort[2].
La marche aléatoire est transitoire s’il y en a , et de telle sorte que pour tous les
où la somme vide de est supposé être nul.
La marche aléatoire est récurrente s’il existe et de telle sorte que pour tous les
Le générateur
On suppose que . Si est la probabilité de trouver le système dans l'état (avec ) à l'instant , alors
Autrement dit,
où est le générateur défini par
Si plus généralement on note la probabilité d'être dans l'état à l'instant sachant que le système était dans l'état à l'instant , alors et (la matrice identité).
Exemples
Le processus de Yule correspond à et .
Le processus linéaire de naissance et de mort correspond à et .
La file M/M/1 correspond à pour et pour .
Propriétés
Supposons que pour tout . Le processus de naissance et de mort a une durée de vie infinie si et seulement si
est infini.
Par exemple, le processus de Yule a une durée de vie infinie car la série harmonique diverge.
Formule de Karlin et McGregor
On définit une suite de polynômes telle que et . Autrement dit,
et
pour tout . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité sur l'intervalle et
Cette formule est due à Karlin et McGregor.
Exemples
Si et pour tout (file d'attente M/M/), alors où les sont les polynômes de Charlier. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de Poisson qui attribue le poids sur les entiers
Si et avec , alors il faut distinguer trois cas.
1er cas : Si , alors
où les sont les polynômes de Meixner. Ainsi, les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids
aux points pour
2e cas : Si , alors
Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités qui attribue le poids
aux points pour
3e cas : Si , alors
où les sont des polynômes de Laguerre généralisés. Les polynômes sont orthogonaux par rapport à la distribution de probabilités sur de densité donnée par la distribution Gamma :
Processus absorbants
Lorsque , l'état 0 est absorbant. Ce cas intervient souvent en dynamique des populations et correspond à l'extinction de la population. Notons la probabilité que le système soit absorbé en 0 au bout d'un temps fini, si l'on part de l'état . Posons
Si , alors pour tout .
Si , alors
Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort, on voit que . L'extinction est certaine lorsque .
Supposons . Notons l'espérance du temps d'extinction lorsque le système part de l'état . Alors
et
pour .
Par exemple, pour le processus linéaire de naissance et de mort avec , on trouve que
Lorsque , on a
Méthode des fonctions génératrices
Lorsque les taux de naissance et de mort sont des polynômes en , on peut faire le lien avec certaines équations aux dérivées partielles. Ainsi, pour le processus linéaire de naissance et de mort, posons
si l'on part de l'état à . On en déduit que l'espérance de la population au temps est
On en déduit aussi la probabilité d'extinction au temps :
si . En particulier, si , on a quand .
Quasi-processus de naissance et de mort
Les quasi-processus de naissance et de mort sont les processus de Markov en temps continu sur un espace d'états discret dont le générateur est tridiagonal par blocs :
Références
↑Karlin, Samuel et McGregor, James, « The classification of birth and death processes », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 86, no 2, , p. 366–400 (DOI 10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8, lire en ligne)
↑ a et bVyacheslav M. Abramov, « Extension of the Bertrand–De Morgan test and its application », The American Mathematical Monthly, vol. 127, no 5, , p. 444–448 (DOI10.1080/00029890.2020.1722551, arXiv1901.05843, S2CID199552015, lire en ligne)
↑Vyacheslav M. Abramov, « Necessary and sufficient conditions for the convergence of positive series », Journal of Classical Analysis, vol. 19, no 2, , p. 117–125 (DOI10.7153/jca-2022-19-09, arXiv2104.01702, S2CID233025219, lire en ligne)
P. Désesquelles, Les processus de Markov en biologie, sociologie, géologie, chimie, physique et applications industrielles, Ellipses, 2016.
W. Feller, Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in Wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung, Acta Biotheoretica no 5, 1939, p. 11-40.
A. Hillion, Les théories mathématiques des populations, PUF, 1986.
S. Karlin, J.L. McGregor, The differential equations of birth-and-death processes, and the Stieltjes moment problem, Transactions of the American Mathematical Society, 1957.
S. Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.
Ph. Picard, Sur les modèles stochastiques logistiques en démographie, Ann. Inst. Henri Poincaré no 2, 1965, p. 151-172
W. Scoutens, Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials, Springer, 2000.
B. Sericola, Chaînes de Markov - Théorie, algorithmes et applications, Lavoisier, 2013.