Semi-anneau d'ensembles

Ne doit pas être confondu avec semi-anneau.

Un semi-anneau d'ensembles (généralement abrégé en semi-anneau) est une classe de parties d'un ensemble X à partir de laquelle on construit facilement un anneau d'ensembles. C'est un cadre commode pour commencer plusieurs constructions classiques de mesures.

Lorsque de surcroît l'ensemble ${\displaystyle X}$ est élément de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, on dit que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ est une semi-algèbre d'ensembles.

• L'ensemble des intervalles de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est une semi-algèbre de parties de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (la différence ensembliste de deux intervalles pouvant être décrite, selon leur position relative, comme réunion disjointe de zéro, un ou deux intervalles).
• L'ensemble des intervalles bornés de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est un semi-anneau mais pas une semi-algèbre.
• L'ensemble des intervalles vides ou de la forme ${\displaystyle ]a,b]}$ (${\displaystyle a<b}$) est un semi-anneau inclus dans le précédent.
• Étant donnés deux semi-anneaux ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ sur des ensembles ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$, l'ensemble des produits ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$, ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {S}}_{i}}$ est un semi-anneau sur le produit ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}.}$ Même lorsque ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ sont des algèbres, ce peut ne pas être un anneau (mais c'est bien sûr alors une semi-algèbre)^[1]. Ainsi l'ensemble des produits de ${\displaystyle n}$ intervalles bornés, ou l'ensemble des produits de la forme ${\displaystyle ]a_{1},b_{1}]\times \cdots \times \left]a_{n},b_{n}\right]}$ sont-ils des semi-anneaux de parties de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

L'anneau d'ensembles engendré par un semi-anneau se décrit facilement^[2] :

Dans l'énoncé d'extension qui suit, on entend par « mesure » sur une classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ contenant le vide une application de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ vers ${\displaystyle [0,+\infty ]}$ nulle sur le vide et σ-additive^[3].

L'unicité est claire, vu l'additivité des mesures et la description des éléments de l'anneau engendré par ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ : nécessairement si un élément ${\displaystyle A}$ de cet anneau s'écrit ${\displaystyle A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}}$ pour des ${\displaystyle A_{i}}$ éléments du semi-anneau ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, on doit avoir ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})+\cdots +\mu (A_{n})}$. Pour l'existence, on prend cette formule pour définition de l'extension, en vérifiant préalablement qu'elle ne dépend pas du découpage de ${\displaystyle A}$ utilisé, puis on s'assure qu'elle définit bien une mesure sans rencontrer d'obstacle significatif.

Les énoncés analogues utilisant des semi-algèbres au lieu des semi-anneaux et des algèbres d'ensembles au lieu des anneaux d'ensembles sont également vrais, et se déduisent aussitôt de ceux qui sont donnés ici^[5]. L'usage des uns ou des autres est souvent indifférent : travailler sur des semi-algèbres est cohérent avec l'objectif terminal de construire une mesure sur une σ-algèbre et évite d'avoir à introduire le concept supplémentaire d'« anneau » ; travailler sur des semi-anneaux permet d'alléger la vérification initiale de σ-additivité et se justifie par ailleurs pleinement quand on a pour objectif de construire des mesures sur des σ-anneaux ou δ-anneaux.

Un des modes de construction de la mesure de Lebesgue sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ consiste à définir le volume d'un pavé droit ${\displaystyle P}$ produit d'intervalles bornés (fermés, ouverts ou semi-ouverts) d'extrémités notées ${\displaystyle a_{i}}$ et ${\displaystyle b_{i}}$. Le volume est simplement le produit des longueurs des côtés :

${\displaystyle \mu (P)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

On étend ensuite cette définition à la classe des ensembles Lebesgue-mesurables.

Cette construction débute par l'invocation, explicite ou implicite, de la proposition énoncée ci-dessus afin d'étendre dans un premier temps la mesure à l'anneau d'ensembles de toutes les unions d'intervalles bornés. L'intérêt des semi-anneaux apparaît nettement ici, car les énoncés qui précèdent, complétés par le théorème d'extension de Carathéodory pour l'étape suivante de l'extension, montrent que la σ-additivité de la mesure découle in fine d'une vérification de σ-additivité où on peut se limiter à manipuler des pavés.

On trouvera ci-dessous en boîte déroulante le détail de cette vérification^[6], qui n'est pas triviale et fournit un exemple de manipulations sur un semi-anneau.

Preuve que le volume est sigma-additif sur le semi-anneau des produits d'intervalles bornés

Notons ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ le semi-anneau des produits d'intervalles bornés, définit une mesure sur ce semi-anneau.

On montre d'abord que ${\displaystyle \mu }$ est additive, au sens suivant : si ${\displaystyle P}$ est un pavé dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ et ${\displaystyle P}$ est réunion disjointe d'une famille finie ${\displaystyle (P_{i})}$ où chaque ${\displaystyle P_{i}}$ est lui aussi dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, le volume du gros pavé ${\displaystyle P}$ est somme des volumes des ${\displaystyle P_{i}}$^[7].

On doit ensuite montrer que ${\displaystyle \mu }$ est une mesure, c'est-à-dire qu'elle est σ-additive. Pour le prouver, soit donc un pavé ${\displaystyle P}$ élément de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, et supposons qu'on dispose d'une partition de ${\displaystyle P}$ comme union disjointe dénombrable de pavés de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ :

${\displaystyle P=\bigcup _{i=1}^{+\infty }P_{i}}$.

On doit montrer l'égalité :

${\displaystyle \mu (P)=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})}$.

L'inégalité dans un sens ne demande pas d'idée particulièrement ingénieuse. Pour ${\displaystyle r}$ fixé, la différence ${\displaystyle P\setminus (P_{1}\cup \cdots \cup P_{r})}$ est dans l'anneau engendré par ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, donc est réunion disjointe finie d'éléments ${\displaystyle F_{1}}$,...,${\displaystyle F_{s}}$ de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Le pavé ${\displaystyle P}$ est donc réunion disjointe finie de pavés dont tous les ${\displaystyle P_{i}}$ pour ${\displaystyle i}$ variant de 1 à ${\displaystyle r}$ ; la positivité et l'additivité de ${\displaystyle \mu }$ entraînent alors :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\mu (P_{i})\leq \mu (P)}$.

En faisant tendre ${\displaystyle r}$ vers l'infini on conclut :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})\leq \mu (P)}$.

Pour l'inégalité réciproque, on commence par fixer un ${\displaystyle \epsilon >0}$ et inclure chaque ${\displaystyle P_{i}}$ dans un pavé ${\displaystyle Q_{i}}$ produit d'intervalles ouverts dont le volume soit inférieur ou égal à ${\displaystyle \mu (P_{i})+\epsilon /2^{i}}$. De la même façon, on considère un pavé ${\displaystyle Q}$ produit d'intervalles fermés, contenu dans ${\displaystyle P}$ et dont le volume soit supérieur ou égal à ${\displaystyle \mu (P)-\epsilon }$.

Le pavé Q est compact comme fermé borné de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et les ouverts ${\displaystyle Q_{i}}$ le recouvrent. On peut extraire une sous-famille ${\displaystyle (Q_{i})_{i\in I_{0}}}$ qui le recouvre toujours, mais à l'ensemble d'indices ${\displaystyle I_{0}}$ fini.

Par additivité finie et positivité de ${\displaystyle \mu }$ sur le semi-anneau ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, l'inclusion ensembliste suivante (dans laquelle la réunion n'a aucune raison d'être disjointe et où n'interviennent qu'un nombre fini d'éléments du semi-anneau) :

${\displaystyle Q\subset \bigcup _{i\in I_{0}}Q_{i}}$

fournit l'inégalité :

${\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i\in I_{0}}\mu (Q_{i})}$

et a fortiori :

${\displaystyle \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})}$

qu'on peut incorporer dans la chaîne d'inégalités :

${\displaystyle \mu (P)-\epsilon \leq \mu (Q)\leq \sum _{i=1}^{+\infty }\mu (Q_{i})\leq \sum _{i=1}^{+\infty }(\mu (P_{i})+{\epsilon \over 2^{i}})=\sum _{i=1}^{+\infty }\mu (P_{i})+\epsilon .}$

Il n'y a plus qu'à faire tendre ${\displaystyle \epsilon }$ vers 0 pour conclure.

 

Toute mesure localement finie sur la droite réelle peut se construire par un procédé généralisant celui exposé ci-avant. Il est opportun d'utiliser le semi-anneau des intervalles vides ou de la forme ${\displaystyle ]a,b]}$ (${\displaystyle a<b}$).

Pour toute fonction croissante de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$, continue à droite, on construit une mesure sur ce semi-anneau en posant :

${\displaystyle \mu (]a,b])=F(b)-F(a),}$

mesure qu'il est ensuite possible d'étendre à la tribu borélienne de ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[8]. Dans le cas particulier des mesures de probabilité, ${\displaystyle F}$ est appelée fonction de répartition de la mesure.

La méthode se généralise à toute dimension finie^[9].

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