Théorème d'Erdős-Kaplansky
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En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe à son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe à son dual. Cela résulte du théorème d'Erdős-Kaplansky suivant :
Théorème — Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension :
En remarquant que card(E*) est, lui aussi, égal à card (KI), on peut encore reformuler le théorème ainsi :
Soit E un espace vectoriel de dimension infinie. Alors la dimension et le cardinal de son espace dual sont égaux, c'est-à-dire dim (E*) = card (E*).
(Pour une démonstration détaillée, voir par exemple le lien externe ci-dessous). On utilisera l'axiome du choix (nécessaire d'emblée pour parler de dimension) et les propriétés des cardinaux vis-à-vis des opérations ensemblistes.
- On montre d'abord que E est isomorphe à l'anneau de polynômes , autrement dit, que la dimension (d'espace vectoriel) de cet anneau est non seulement, bien sûr, minorée par card(I), mais en fait, égale à ce cardinal. En effet, cet anneau est la réunion des quand J parcourt l'ensemble des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension dénombrable, donc la dimension de leur réunion est majorée par .
- On en déduit que le dual de E est isomorphe à celui de . Or la dimension de ce dernier est minorée par card(KI), car il contient une famille libre de formes linéaires indexée par KI : la famille des applications d'évaluation fa en chaque élément a = (ai )i de KI, chacune étant définie par : fa(P)=P(a).
- Par ailleurs, directement, E* est isomorphe à KI (donc a même cardinal) et d'autre part, E* est de dimension inférieure ou égale à son cardinal (comme tout espace vectoriel).
- Finalement,
ce qui prouve le théorème. - Par conséquent E n'est pas isomorphe à son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le théorème de Cantor.
Bibliographie
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre Chapitre II (ISBN 9783540338499) page A.II.193
- B. Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales, volume 1 : Algèbre (ISBN 9782130458357) 6.113 page 221
- Théorème d'Erdös-Kaplansky Démonstration du théorème d'Erdős-Kaplansky et du corollaire sur la non-isomorphie d'un espace vectoriel de dimension infinie et de son espace dual.
- (en) N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol. II, Linear Algebra, van Nostrand Company (1953) Chapter IX, § 5
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