Théorème du rang constant

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Le théorème du rang constant est le théorème de calcul différentiel suivant :

Théorème — Soient U {\displaystyle U} un ouvert de ℝn, a {\displaystyle a} un élément de U {\displaystyle U} et f : U {\displaystyle f:U} →ℝp une application de classe C1. Si la différentielle de f {\displaystyle f} est de rang constant r {\displaystyle r} sur U {\displaystyle U} , alors il existe

  • un C1-difféomorphisme φ {\displaystyle \varphi } d'un ouvert V {\displaystyle V} de ℝn contenant 0 sur un ouvert de U {\displaystyle U} avec φ ( 0 ) = a {\displaystyle \varphi (0)=a} et
  • un C1-difféomorphisme ψ {\displaystyle \psi } d'un ouvert de ℝp contenant f ( φ ( V ) ) {\displaystyle f(\varphi (V))} sur un ouvert de ℝp, tels que :
    ∀ x ∈ V , ψ ∘ f ∘ φ ( x 1 , … , x n ) = ( x 1 , … , x r , 0 , … , 0 ) . {\displaystyle \forall x\in V,\quad \psi \circ f\circ \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{r},0,\ldots ,0).}

Référence

Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 49

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