Az általános relativitáselméletnek a gömbszimmetrikus vákuum megoldását Schwarzschild-megoldásnak nevezzük, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.
Jelölések
A következő koordináta négyest használjuk
.
Feltételezéseink
(1) Gömbszimmetrikus téridőben a metrika nem változik a
vagy
tükrözések esetén, valamint a két változóban történő forgatások elvégzése esetén.
(2) A statikus téridőben az összes metrikus komponens
(idő) független (azaz
) és nem változik időtükrözés
esetén sem.
(3) Vákuum megoldás esetén az Einstein egyenletek jobb oldala eltűnik, tehát
. Így az egyenletekből
következik. Továbbá az
egyenletből
kapunk.
A metrika diagonalizálása
A
, transzformációra a metrika nem változik. A
(
) komponensek a következőképpen transzformálódnak:
(
)
Mivel a
metrikus komponensek nem változnak:
(
)
A
és a
koordináta transzformációkból:
(
)
(
)
Összegezve:
(
)
Tehát a metrika a következő alakú
![{\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9184d611be66ffeac3fb1ef3e5ef4238d3c880b)
A komponensek kiszámítása
Azon a hiperfelületen ahol
,
és
konstans, a
komponens csak
-től függ. Tehát
![{\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efe2211c8a8fdacc75b4b8ebded548ec27dcb3e)
hasonlóan
![{\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ef5fa454887fa52f04ca8f9e33606677cb450a)
vagy hagyományos jelölésmóddal
és ![{\displaystyle g_{00}=-f^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad7fb6edb42b9a88d9e7f18a5b8c9510b1c8ccc)
Konstans
és
estén
![{\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1b9e65f1c3a38a469bf6997c59bf36e13a4caf)
továbbá
![{\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ada6af62475a51f5a361c567307536fedb3161)
amiből:
és ![{\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf02923fbcd79a7b36d20a32a6d1260071de07a)
Valamint
és ![{\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7286a2afb48ae57dcbbba6e67fcd06f5c2ad6cae)
Tehát a metrika alakja a következő lesz:
![{\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3be0257cd1d203f47d05664b74e6b9a5bd579b4)
Vagy hagyományos jelölésmóddal
![{\displaystyle g_{ik}={\begin{bmatrix}-f^{2}&0&0&0\\0&h^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5addbedede147a4358805dd7afacaff3f4142c)
Hosszas számolás után a metrikus tenzorból kiszámíthatók a Christoffel-szimbólumok.
![{\displaystyle \Gamma _{ik}^{0}={\begin{bmatrix}0&f'/f&0&0\\f'/f&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5203674c7395a47e94d1f4d98db96fe51836a00f)
Ahol a vessző az r szerinti deriválást jelöli.
![{\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}ff'/h^{2}&0&0&0\\0&h'/h&0&0\\0&0&-r/h^{2}&0\\0&0&0&-r\sin ^{2}\theta /h^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a97e009544c661d2d678c06f053e60ba057f0a5)
![{\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1/r&0\\0&1/r&0&0\\0&0&0&-\sin \theta \cos \theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd3d8dc7270014aa28b555e2334b7e4f6ffb734)
![{\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1/r\\0&0&0&\cot \theta \\0&1/r&\cot \theta &0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2a9258670bccaa67f4349526a190af3893c811)
és
kiszámítása
Használjuk a vákuum esetén érvényes
![{\displaystyle {\rm {R_{ab}=\,0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b692a3f1b557eb6353274d98ce78638f3021bd5)
egyenletet. A 10 független egyenletből 6 triviálisan teljesül. A maradék négy a következő
(A 4. egyenlet
-szorosa a 2. egyenletnek.)
Itt a pont az r szerinti deriválást jelöli. Kivonva az első egyenletet a harmadikból
Továbbá
aminek az általános megoldása:
Itt
egy nem nulla valós szám (hasonlóan
-hoz). Tehát a statikus gömbszimmetrikus általános megoldás a metrikára:
Gyenge tér közelítés
és
meghatározására
A metrikának gyenge tér közelítésben vissza kell adnia a newtoni tömegvonzást. Továbbá, ha a tömeggel nullához közelítünk a Minkowski-téridőt kell megkapnunk.
egyenletet. Gyenge tér közelítésben:
ahol
a gravitációs állandó,
a tömeg és
a fénysebesség
és
Így:
és
Tehát a Schwarzschild metrika a következő alakú lesz:
Irodalom
- Landau-Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
- Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
- Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239
Hivatkozások
Lásd még