Dirac-egyenlet

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A fizikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) helyes, relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. A Dirac-egyenlet mindenféle bővítés nélkül (mint például a Pauli–Schrödinger-egyenlet) magába foglalja a spint, továbbá jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Dirac az elektron antirészecske-párjának, a pozitronnak a kísérleti kimutatásakor, 1933-ban kapott Nobel-díjat.

Matematikai forma

Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+\sum _{k=1}^{3}\alpha _{k}p_{k}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}$

ahol:

m a részecske nyugalmi tömege

c a fénysebesség,

p az impulzus operátora,

${\displaystyle \hbar }$ a redukált Planck-állandó,

x és t a tér- és időkoordináták.

Az egyenletben megjelenő további tagok a 4x4-es ${\displaystyle \alpha _{k}}$ és ${\displaystyle \beta }$ mátrixok, és ${\displaystyle \psi }$ a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, minthogy önadjungáltak, továbbá antikommutálnak egymással:

${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i},\,}$

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i}\,}$

ahol i és j különböző indexek 1-től 3-ig.

Kovariáns alak

A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja

${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc\psi =0,}$

ahol a kétszer szereplő indexekre (μ = 0, 1, 2, 3) összegzünk, ${\displaystyle \partial _{\mu }=({\frac {1}{c}}\partial _{\mu },\nabla )}$ a négyesgradiens és ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ gamma mátrixok vagy Dirac mátrixok. A gamma mátrixok teljesítik a

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }}$

antikommutációs relációt, ahol ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ a Minkowski-metrika és a ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ mátrixok Clifford-algebrát alkotnak (Dirac-algebra). A ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ operátorokat ${\displaystyle 4\times 4}$ mátrixokkal reprezentáljuk. Explicit alakjuk standard ábrázolásban (Dirac ábrázolás)

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2 egységmátrix ${\displaystyle I_{2}}$ segítségével a következő alakban írhatók bevezetve a ${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$ mátrixot

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$

Valószínűségi áram megmaradása

Bevezetve a konjugált spinort

${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$,

ahol ψ^† a hullámfüggvény adjungáltja, valamint felhasználva, hogy

${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\,}$,

a Dirac-egyenlet konjugálásával valamint jobbról ${\displaystyle \gamma _{0}}$-lal való beszorzásával előáll a konjugált Dirac-egyenlet

${\displaystyle {\bar {\psi }}(-i\gamma ^{\mu }{\overset {\leftarrow }{\partial _{\mu }}}-m)=0\,}$.

A Dirac-egyenletet balról ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$-sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról ${\displaystyle \psi }$-vel beszorozva, majd a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0,}$

amely a valószínűségi áramsűrűség megmaradását fejezi ki. A valószínűségi áramsűrűség

${\displaystyle j_{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$,

melynek nulladik komponense a valószínűségi sűrűség

${\displaystyle j^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi .}$

További információk

• P. A. M. Dirac: Theory of electrons and positrons. www.nobelprize.org (1933. december 12.) (Hozzáférés: 2014. november 20.)