Hullámfüggvény

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A hullámfüggvény egy kvantummechanikai állapot (azaz kvantumállapot) jellemzésére alkalmazható matematikai eszköz. Bár a klasszikus mechanikai hullámegyenlet egy megoldásaként előálló hullámfüggvény analógiájára hozták létre, a kvantummechanikában némiképp más értelemmel bír: a kvantummechanikai hullámfüggvény egy igen kiterjedt módon alkalmazott általános matematikai formalizmus egy alapvető matematikai objektuma.

Definíció

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

• komplex vektor véges számú komponenssel (például Heisenberg-kép)

${\displaystyle {\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}}$,

• komplex vektor végtelen sok komponenssel

${\displaystyle {\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}}$,

• egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)

${\displaystyle \psi (x_{1},\,\ldots \,x_{n})}$.

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióban

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex ${\displaystyle \psi (x)\,}$ függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény ${\displaystyle |\psi |^{2}\,}$ abszolútérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumba eső eredményt ad:

${\displaystyle \int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,dx\quad }$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx=1\quad }$.

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióban

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex ${\displaystyle \psi (x,y,z)\,}$ függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az ${\displaystyle R}$ térfogatban találjuk:

${\displaystyle \int _{R}|\psi (x)|^{2}\,dV}$.

A normálási feltétel hasonló:

${\displaystyle \int |\psi (x)|^{2}\,dV=1}$,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

${\displaystyle \psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})\,}$,

és ${\displaystyle |\psi |^{2}\,}$ a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

${\displaystyle \int _{R}\int _{S}|\psi |^{2}\,dV_{2}dV_{1}}$,

ahol ${\displaystyle dV_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1}}$, ${\displaystyle dV_{2}}$ is hasonló. A normálási feltétel ezért:

${\displaystyle \int \int |\psi ^{2}|\,dV_{2}dV_{1}=1}$,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérben

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex ${\displaystyle \psi (p)\,}$ függvény. A ${\displaystyle |\psi |^{2}\,}$ mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumba eső eredményre vezet:

${\displaystyle \int _{a}^{b}|\psi (p)|^{2}\,dp\quad }$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (p)|^{2}\,dp=1}$,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spin

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

${\displaystyle {\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}}$.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan ${\displaystyle c_{1}}$ és ${\displaystyle c_{2}}$ a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a ${\displaystyle z}$ térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\uparrow _{z}\rangle +c_{2}|\downarrow _{z}\rangle }$

A ${\displaystyle |c_{1}|^{2}\,}$ ill. ${\displaystyle |c_{2}|^{2}\,}$ értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1\,}$.

Interpretáció (vektor)

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük ${\displaystyle |\psi \rangle \,}$-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorok

A hullámfüggvény, ami egy ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ vektor ${\displaystyle n}$ komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer ${\displaystyle |\psi \rangle }$ állapotát a végesen sok ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$-től ${\displaystyle n}$-ig fut. A

${\displaystyle {\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}}$,

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$

állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül ${\displaystyle \lambda _{i}}$-t kapjunk, ${\displaystyle |c_{i}|^{2}}$, és ha eredményünk ${\displaystyle \lambda _{i}}$, akkor a mérés után a rendszer a ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ állapotban lesz.

Végtelen vektorok

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

${\displaystyle {\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}}$

ekvivalens a következővel:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\psi _{i}\rangle }$,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed ${\displaystyle {\vec {\psi }}}$ minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske ${\displaystyle |\psi \rangle }$ fizikai állapotát a határozott helyzetű ${\displaystyle |x\rangle }$ állapotokon fejti ki. Ezért

${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)|x\rangle \,dx}$.

Vegyük észre, hogy ${\displaystyle |\psi \rangle }$ nem azonos ${\displaystyle \psi (x)\,}$-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

${\displaystyle |x_{0}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})|x\rangle \,dx}$

és ezért az ${\displaystyle |x_{0}\rangle }$-hoz rendelt térhullámfüggvény ${\displaystyle \delta (x-x_{0})\,}$ (Dirac-delta).

Formalizmus

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy ${\displaystyle H}$ vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha ${\displaystyle |\psi \rangle }$ és ${\displaystyle |\phi \rangle }$ két megengedett állapot, akkor

${\displaystyle a|\psi \rangle +b|\phi \rangle }$

szintén megengedett állapot feltéve, hogy ${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a ${\displaystyle H}$ vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

${\displaystyle \{|\uparrow _{z}\rangle ,|\downarrow _{z}\rangle \}}$

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

${\displaystyle a|\uparrow _{z}\rangle +b|\downarrow _{z}\rangle }$.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy ${\displaystyle H}$ térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni ${\displaystyle H}$-t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}\,}$ báziselemünk van, amelyik mind ${\displaystyle H}$-hoz tartoznak, akkor ${\displaystyle H}$ egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Ha ez a helyzet, akkor ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\sum _{j}c_{j}|\phi _{j}\rangle =c_{i}}$.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$ állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$

azaz érvényes az analóg

${\displaystyle \langle x|\int \psi (x')|x'\rangle \,dx'=\int \psi (x')\delta (x-x')\,dx'=\psi (x)}$.

összefüggés.

Források

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Kapcsolódó szócikkek

További információk

• A relativtáselmélet alapfogalmai, a hullámfüggvény és a megfigyelés a kvantummechanikában - közérthető írás a hullámfüggvényről