Krull-tétel

Nem tévesztendő össze a következővel: Krull főideáltétele.

A gyűrűelméletben Krull tétele azt mondja ki, hogy egy egységelemes gyűrűnek van maximális ideálja. A tételt Wolfgang Krull 1929-ben látta be transzfinit indukció használatával. A Zorn-lemmát használva egyszerűbb bizonyítás is adható; sőt, a tétel ekvivalens a Zorn-lemmával és így a kiválasztási axiómával is.

A tétel nemkommutatív gyűrűkben is igaz, ha maximális ideálok helyett maximális bal- illetve jobbideálokról beszélünk.

Krull tétele ekvivalens azzal a látszólag erősebb állítással, hogy egy ${\displaystyle R}$ egységelemes gyűrű bármely ${\displaystyle I\subsetneq R}$ valódi ideáljához létezik olyan ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq R}$ maximális ideál, hogy ${\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {m}}}$. (Előfordul, hogy ezt erre az állításra is Krull-tétel néven hivatkoznak.) Valóban, ${\displaystyle I=(0)}$ választással visszakapjuk az eredeti állítást; megfordítva, alkalmazzuk az eredeti tételt az ${\displaystyle R/I}$ faktorgyűrűre; az így kapott maximális ideál ${\displaystyle R}$-beli ősképe egy ${\displaystyle I}$-t tartalmazó maximális ideál.

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Krull's theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.