Nilradikál

A nilradikál az algebrában egy kommutatív gyűrű nilpotens elemeiből álló ideálja. Nemkommutatív esetben ez a definíció különböző módokon általánosítható.

Kommutatív gyűrűk nilradikálja

Legyen ${\displaystyle R}$ egy kommutatív gyűrű. A nilradikál ${\displaystyle R}$ nilpotens elemeinek halmaza:

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {Z} ,n\geq 1:\,r^{n}=1\}}$

A binomiális tétel miatt bármely két nilpotens elem összege is nilpotens, és a kommutativitás miatt bármely elem nilpotens elemmel vett szorzata is nilpotens – következésképpen a nilradikál valóban ideál. A definíciót úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a nilradikál a ${\displaystyle (0)}$ ideál radikálja (ekkor automatikusan adódik, hogy maga is ideál).

Belátható, hogy a nilradikál megegyezik a gyűrű prímideáljainak metszetével (és így megegyezik a minimális ideálok metszetével is). Mivel minden maximális ideál prím, a maximális ideálok metszeteként kapott ${\displaystyle \mathrm {J} (R)}$ Jacobson-radikál tartalmazza a nilradikált. Egy gyűrűt Jacobson-gyűrűnek nevezünk, ha minden ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$ prímideálra

${\displaystyle \operatorname {nil} (R/{\mathfrak {p}})=\mathrm {J} (R/{\mathfrak {p}})}$.

Minden Artin-gyűrű Jacobson, és nilradikálja a gyűrű maximális nilpotens ideálja. Általában ha a nilradikál végesen generált (például mert a gyűrű Noether-gyűrű), akkor nilpotens.

Egy gyűrűt redukált gyűrűnek nevezünk, ha nincs nemnulla nilpotens eleme, azaz nilradikálja ${\displaystyle (0)}$. Tetszőleges ${\displaystyle R}$ kommutatív gyűrűre az

${\displaystyle R_{\mathrm {red} }=R/\operatorname {nil} (R)}$

faktorgyűrű redukált.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Nilradical of a ring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.