A lineáris algebrában a polarizációs formulával egy szimmetrikus bilineáris forma, illetve egy hermitikus szeszkvilineáris forma ábrázolható a hozzájuk tartozó kvadratikus alak segítségével.
Alkalmazásának egy fontos esete a skalárszorzat és az általa indukált norma kapcsolata. Egy skalárszorzatos vektortérben az indukált norma számítása
. A polarizációs formulával a skalárszorzat kiszámítható az általa indukált normából, ha a norma skalárszorzatból származik. A norma akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot.
Valós eset
Legyen
vektortér az
valós számok teste fölött, és legyen
szimmetrikus bilineáris forma, azaz
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (v_{1}+v_{2},w)&=\alpha (v_{1},w)+\alpha (v_{2},w)\\\alpha (c\cdot v,w)&=c\cdot \alpha (v,w){\text{ s }}\\\alpha (v,w)&=\alpha (w,v)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd6c9984983bd198c0e306a99297d535f8324f1)
minden
,
esetén. A hozzá tartozó
kvadratikus alak
![{\displaystyle q(v):=\alpha (v,v),\;v\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7817102abac6ba226031fcd6222d4839712a725a)
Megfordítva, az
kvadratikus alak is meghatározza a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris formát. Ezt a kapcsolatot a polarizációs formula fejezi ki:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (v,w)&={\frac {1}{2}}\left(q(v+w)-q(v)-q(w)\right),\quad v,w\in V\\&={\frac {1}{2}}\left(q(v)+q(w)-q(v-w)\right),\quad v,w\in V\\&={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right),\quad v,w\in V.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d90f9916f23128380e3f85740f893632a14f9d4)
Ez nem teljesül minden bilineáris formára, tehát a nem szimmetrikus esetekben nem. Legyenek
mátrixok, és legyenek
bilineáris formák úgy, hogy
![{\displaystyle \alpha (v,w):=v^{T}Aw\quad {\text{s}}\quad \beta (v,w):=v^{T}Bw,\quad v,w\in \mathbb {R} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30f6d5dac6d8540c4974987e597b5f38f599e15)
Ekkor
és
különböznek, de ugyanazt a kvadratikus alakot határozzák meg.
Komplex eset
Legyen
vektortér a
komplex számok teste fölött, és legyen
szeszkvilineáris forma. A hozzá tartozó
kvadratikus alak a valós esethez hasonlóan
![{\displaystyle q(v):=\alpha (v,v),\;v\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7817102abac6ba226031fcd6222d4839712a725a)
A szeszkvilineáris formát is meghatározza kvadratikus alakja. A polarizációs formula komplex esetben:
![{\displaystyle \alpha (v,w)={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right)-{\frac {i}{4}}\left(q(v+iw)-q(v-iw)\right),\quad v,w\in V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bfac679b49b22f14a7906931b08f68759c35a5)
ha
első argumentumában szemilineáris, és
![{\displaystyle \alpha (v,w)={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right)+{\frac {i}{4}}\left(q(v+iw)-q(v-iw)\right),\quad v,w\in V,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3db7367f3b327f879f1d0f7111b6c26f851c8)
ha
második argumentumában szemilineáris.
Források
- Oswald Riemenschneider: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (pdf; 809 kB)- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82
- Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer Spektrum (2018). ISBN 978-3-662-55599-6/hbk 978-3-662-55600-9/ebook
Fordítás
Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarisationsformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.