Steiner-ciklois

A geometriában a Steiner-ciklois vagy deltoidgörbe egy három csúcsú hipociklois. Másként, egy nagyobb körön belülről csúszás nélkül görgő kör egy kerületi pontja írja le, ami másfélszer vagy háromszor fordul körbe. A deltoid nevet a delta görög betűről kapta, mivel hasonlít a delta nagybetűre.

Általánosabban a deltoidgörbe vonatkozhat egy olyan görbére, aminek három csúcsát a külsejére nézve konkáv görbék kötik össze, így a görbén belüli pontok konkáv halmazt alkotnak.

Egyenletei

A deltoidgörbe forgatás és eltolás erejéig leírható a következő paraméteres egyenletekkel:

${\displaystyle x=2a\cos(t)+a\cos(2t)\,}$

${\displaystyle y=2a\sin(t)-a\sin(2t)\,}$

ahol a a gördülő kör sugara.

Komplex koordinátákkal ugyanez így néz ki:

${\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it}}$.

A t változó kiküszöbölésével az egyenletet a Descartes-koordinátákkal fejezzük ki:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,}$

eszerint a deltoidgörbe negyedfokú algebrai síkgörbe. Poláris koordinátákban az egyenlet:

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

A görbének három csúcsa, szingularitása van a ${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$ helyeken. A fenti paraméterezésből következik, hogy a görbe racionális, így nemszáma 0.

A deltoidgörbét érintői két helyen is elmetszik. Ha az érintő egyszer körbefordul, akkor az érintési pont kétszer fordul körbe.

A deltoidgörbe evolvense

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

aminek kettős pontja van az origóban. Ez megmutatható az y ↦ iy képzetes forgatással, aminek eredménye

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

kettős ponttal a valós sík origójában.

Terület és kerület

A közrezárt terület ${\displaystyle 2\pi a^{2}}$, ahol a a gördülő kör sugara. Ez kétszerese a gördülő kör területének.^[1]

A görbe ívhossza 16a.^[1]

Története

A cikloisokat már Galileo Galilei és Marin Mersenne tanulmányozta 1599-től, de a gördülő körök pontjai által leírt görbékkel Ole Rømer kezdett el foglalkozni 1674-ben, amikor a fogaskerék legjobb alakját kereste. Leonhard Euler összefüggésbe hozta a deltoidgörbét egy optikai problémával.

Alkalmazásai

A deltoidgörbék a matematika több területén is felbukkannak:

• A harmadrendű unisztochasztikus mátrixok komplex sajátértékeinek halmaza
• A harmadrendű unisztochasztikus mátrixok keresztmetszete
• Az SU(3) csoport unitér mátrixainak lehetséges nyomainak halmaza
• Két deltoidgörbe metszete hatodrendű komplex Hadamard-mátrixok egy családját paraméterezi.
• Egy háromszög Simpson-vonalai Steiner-görbét burkolnak. Jakob Steiner 1856-ban írta le a görbe alakját és szimmetriáját.^[2]
• A háromszögek területfelezői tágabb értelemben vett deltoidgörbét burkolnak. A görbe csúcsai a háromszög oldalfelező pontjai; a görbe szakaszai hiperbolaívek, amelyek aszimptotái a háromszög oldalai.^[3]
• A Steiner-ciklois egy javasolt megoldás Kakeya tűproblémájára.

Jegyzetek

Források

• E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid, A Book of Curves. Cambridge University Press (1961) 
• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 131–134. o. (1972). ISBN 0-486-60288-5 
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books, 52. o. (1991). ISBN 0-14-011813-6 
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index
• "Deltoïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French)
• Sablon:Springer

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Deltoid curve című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.