Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Integral Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Dalam kalkulus, kaidah pangkat (atau aturan pangkat) digunakan untuk mencari turunan fungsi
, dengan
adalah suatu bilangan riil. Oleh karena turunan adalah operasi yang bersifat linear pada ruang fungsi terdiferensialkan, polinomial juga dapat diturunkan menggunakan kaidah ini. Kaidah pangkat adalah kaidah yang mendasari deret Taylor, sebab kaidah ini menghubungkan deret pangkat dengan turunan suatu fungsi.
Isi pernyataan
Misalkan
adalah sebuah fungsi dengan bentuk umum
untuk setiap
, dengan
.[a] Maka,
Kaidah pangkat untuk integrasi menyatakan bahwa
untuk sembarang bilangan riil
, dan
adalah konstanta sembarang. Pernyataan kaidah pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan membalik kaidah pangkat untuk turunan.
Bukti
Bukti untuk pangkat bilangan riil
Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai
, dengan
adalah bilangan riil. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan bilangan irasional sebagai limit barisan dari perpangkatan bilangan rasional, atau sebagai batas atas terkecil dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi
sebagai fungsi eksponensial alami
untuk setiap nilai
, dengan
adalah bilangan Euler.[1][2]
Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi
adalah
. Misalkan
, maka
, dengan
adalah fungsi logaritma alami, fungsi invers dari fungsi eksponensial.[3] Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap
, maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan kaidah rantai, diperoleh
yang menunjukkan bahwa
. Dengan menerapkan kaidah rantai ke fungsi
, maka
Saat
, maka
. Akibatnya,
yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor
di atas tidak memiliki definisi konvensional saat
, sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan
dengan bilangan rasional berpenyebut genap (dalam bentuk paling sederhana) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).
Terakhir, untuk setiap fungsi yang memiliki turunan di
, maka menurut definisi turunan dengan menggunakan limit, nilainya adalah
Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika
dan
adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat
. Untuk semua nilai
yang lain, ekspresi
tidak memiliki nilai yang tunggal untuk
(seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan riil, sehingga nilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai riil). Untuk dua kasus yang nilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai kaidah pangkat yang diterapkan pada titik
, sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.
kasus saat
(yaitu ekspresi
) biasa diabaikan, lantaran fungsi
tidak memiliki limit pada
, sebab
, sedangkan ![{\displaystyle \lim _{y\,\to \,0}0^{y}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824272d0227d983f6df9dc4dc1a59bac5b68117b)
Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka seringkali ekspresi
nilainya tidak ada.
Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol
Pembuktian melalui induksi (bilangan asli)
Misalkan
adalah suatu bilangan asli. Akan dibuktikan bahwa
dengan menggunakan induksi.
Saat
, maka
sehingga kasus dasar telah terbukti.
Misalkan persamaan
berlaku untuk suatu bilangan asli
. Dengan kata lain, berlaku
Saat
, maka dengan menggunakan kaidah darab, diperoleh
Dengan prinsip induksi matematika, maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli
.
Misalkan
, dengan
. Menurut teorema binomial,
dengan
adalah bilangan asli yang disebut sebagai koefisien binomial, dengan definisi
Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh
Perumuman untuk pangkat bilangan bulat negatif
Pertama, akan dibuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk
. Perhatikan bahwa
sehingga terbukti bahwa kaidah pangkat berlaku saat nilai
.
Diambil sembarang bilangan bulat negatif
. Jika didefinisikan
, maka
adalah bilangan asli. Dengan Menggunakan aturan timbal-balik, diperoleh
sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap
, maka berlaku
Perumuman untuk pangkat bilangan rasional
Setelah membuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat, aturan tersebut dapat diperumum untuk pangkat bilangan rasional.
Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan kaidah rantai
- Diambil sembarang
, serta didefinisikan
dan misalkan
. Dari sini, diperoleh
sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum
, dengan
. Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk
dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya. - Diambil sembarang
dan
, serta didefinisikan
(yang mengakibatkan
) dan misalkan
. Dari sini, diperoleh
Akibatnya, jika
adalah suatu bilangan rasional, maka berlaku ![{\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}x^{k}=kx^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd642290febd6b160709312dc5d06369b52aea32)
Metode pendiferensialan implisit juga dapat digunakan untuk memperumum kaidah pangkat untuk bilangan rasional. Diambil sembarang
dan
, serta didefinisikan
(yang mengakibatkan
) dan misalkan
. Dari sini, diperoleh
sehingga terbukti bahwa
apabila
.
Sejarah
Kaidah pangkat untuk integral pertama kali ditunjukkan secara geometris oleh matematikawan Italia Bonaventura Cavalieri pada awal abad ke-17 untuk setiap bilangan asli
, dan untuk setiap pangkat bilangan rasional oleh matematikawan Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli, Gilles de Roberval, John Wallis, dan Blaise Pascal, masing-masing bekerja secara independen. Pada saat itu, kaidah pangkat adalah cara untuk menentukan luas antara grafik fungsi pangkat rasional dengan sumbu horizontal. Namun, setelah ditelusuri, kaidah ini dianggap sebagai teorema kalkulus yang pertama kali ditemukan.[4] Kaidah pangkat untuk pendiferensialan pertama kali diturunkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, masing-masing secara independen, untuk fungsi pangkat rasional pada pertengahan abad ke-17, dimana keduanya menggunakan aturan tersebut untuk menurunkan kaidah pangkat untuk integral sebagai operasi invers. Hal ini mencerminkan cara konvensional dalam menyajikan teorema terkait pada buku teks kalkulus dasar modern, dimana kaidah pendiferensialan biasanya diajarkan terlebih dahulu ssebelum kaidah integral.[5]
Walaupun keduanya menyatakan bahwa aturan ini, ditunjukkan hanya untuk pangkat bernilai rasional, berlaku untuk setiap pangkat bernilai riil, keduanya tidak mencari bukti dari pernyataan tersebut, sebab pada waktu itu, penerapan dari teori tidak khawatir dengan fungsi pangkat eksotis, dan pertanyaan mengenai konvergensi dari deret tak hingga masih ambigu.
Kasus dimana
berhasil diselesaikan oleh Flemish Jesuit dan matematikawan Grégoire de Saint-Vincent beserta muridnya Alphonse Antonio de Sarasa pada pertengahan abad ke-17, yang menunjukkan bahwa integral tak tentu
![{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca777fd7c2d5720a92109d5967fc19bb6c6f5b9)
yang merepresentasikan luasan diantara grafik hiperbola
dan sumbu-
, adalah fungsi logaritma, yang basisnya adalah Bilangan transenden e. Notasi modern dari nilai integral tak tentu ini adalah
, logaritma alami.
Lihat juga
Referensi
Catatan
- ^ Jika
adalah suatu bilangan rasional dalam bentuk paling sederhana dengan penyebut bilangan ganjil, maka domain dari
adalah
. Selain itu, domain fungsinya ialah
.
Sitasi
- ^ Landau, Edmund (1951). Differential and Integral Calculus [Kalkulus Diferensial dan Integral] (dalam bahasa Inggris). New York: Chelsea Publishing Company. hlm. 45. ISBN 978-0821828304.
- ^ Spivak, Michael (1994). Calculus [Kalkulus] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-3). Texas: Publish or Perish, Inc. hlm. 336–342. ISBN 0-914098-89-6.
- ^ Maor, Eli (1994). e: The Story of a Number
(dalam bahasa Inggris). New Jersey: Princeton University Press. hlm. 156. ISBN 0-691-05854-7. - ^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development (dalam bahasa Inggris). New York: Dover. hlm. 127. ISBN 0-486-60509-4.
- ^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and its Conceptual Development (dalam bahasa Inggris). New York: Dover. hlm. 191, 205. ISBN 0-486-60509-4.
Bacaan lanjutan
- (Inggris) Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.