Persamaan Böttcher

Persamaan Böttcher adalah persamaan fungsional

${\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}}$

dimana

• h adalah fungsi analitik tertentu dengan superatraksi titik tetap dengan orde n pada a, (that is, ${\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,}$ di lingkungan dari a), dengan n ≥ 2
• F adalah fungsi yang dicari.

Logaritma dari persamaan fungsional ini berjumlah persamaan Schröder.

Persamaan ini dinamai Lucjan Böttcher.

Solusi dari persamaan fungsional adalah fungsi dalam bentuk implisit.

Lucian Emil Böttcher membuat sketsa bukti pada tahun 1904 tentang keberadaan solusi: fungsi analitik F di lingkungan titik tetap a , sedemikian rupa sehingga:^[1]

${\displaystyle F(a)=0}$

Solusi ini terkadang disebut:

• koordinat Böttcher
• fungsi Böttcher^[2]
• peta Boettcher.

Bukti lengkapnya diterbitkan oleh Joseph Ritt pada tahun 1920,^[3] yang tidak mengetahui formulasi aslinya.^[4]

Koordinat Böttcher (logaritma dari fungsi Schröder) konjugasi h(z) di lingkungan titik tetap ke fungsi tersebut zⁿ. Kasus yang sangat penting adalah ketika h (z) adalah polinomial derajat n, dan a = ∞ .^[5]

Untuk fungsi h dan n = 2^[6]

${\displaystyle h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}}$

fungsi Böttcher F adalah:

${\displaystyle F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}}$

Persamaan Böttcher memainkan peran fundamental di bagian dinamika holomorfik yang mempelajari iterasi dari polinomial dari satu variabel kompleks.

Properti global dari koordinat Böttcher dipelajari oleh Fatou^{[7] [8]} dan Douady dan Hubbard.^[9]

• Persamaan Schröder
• Sinar eksternal

1. ^ Böttcher, L. E. (1904). "The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)". Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. 14: 155–234. 
2. ^ J. F. Ritt. On the iteration of rational functions . Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920) 348-356. MR 1501149.
3. ^ Ritt, Joseph (1920). "On the iteration of rational functions". Trans. Amer. Math. Soc. 21 (3): 348–356. doi:10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6 . 
4. ^ Stawiska, Małgorzata (November 15, 2013). "Lucjan Emil Böttcher (1872–1937) - The Polish Pioneer of Holomorphic Dynamics". arΧiv:1307.7778 [math.HO]. 
5. ^ Cowen, C. C. (1982). "Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk". Aequationes Mathematicae. 24: 187–194. doi:10.1007/BF02193043. 
6. ^ Chaos by Arun V. Holden Princeton University Press, 14 lip 2014 - 334
7. ^ Alexander, Daniel S.; Iavernaro, Felice; Rosa, Alessandro (2012). Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942. ISBN 978-0-8218-4464-9. 
8. ^ Fatou, P. (1919). "Sur les équations fonctionnelles, I". Bulletin de la Société Mathématique de France. 47: 161–271. doi:10.24033/bsmf.998 . JFM 47.0921.02. ; Fatou, P. (1920). "Sur les équations fonctionnelles, II". Bulletin de la Société Mathématique de France. 48: 33–94. doi:10.24033/bsmf.1003 . JFM 47.0921.02. ; Fatou, P. (1920). "Sur les équations fonctionnelles, III". Bulletin de la Société Mathématique de France. 48: 208–314. doi:10.24033/bsmf.1008 . JFM 47.0921.02. 
9. ^ Douady, A.; Hubbard, J. (1984). "Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)". Publ. Math. Orsay. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-12-24. Diakses tanggal 2012-01-22.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Douady, A.; Hubbard, J. (1985). "Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)". Publ. Math. Orsay. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-12-24. Diakses tanggal 2012-01-22.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)