Teorema Heine–Borel
Dalam analisis real, teorema Heine–Borel menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan asli , suatu himpunan bagian dari ruang Euklides adalah himpunan kompak jika dan hanya jika merupakan himpunan tertutup dan terbatas. Teorema ini dinamai dari Eduard Heine and Émile Borel.
Sejarah dan Motivasi
Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep kontinu seragam dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. Peter Gustav Lejeune Dirichlet adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya.[1] Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904.[1] Eduard Heine, Karl Weierstrass, dan Salvatore Pincherle kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, Émile Borel adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk peliput terhitung. Pierre Cousin (1895), Henri Léon Lebesgue (1898), dan Arthur Moritz Schoenflies (1900) memperumumnya untuk sembarang peliput.[2]
Bukti
Implikasi "hanya jika"
Diambil sembarang . Diketahui adalah himpunan kompak. Dengan kata lain, setiap peliput buka dari memiliki subliput berhingga. Misalkan menyatakan bola berjari-jari yang berpusat pada titik .
Sifat keterbatasan
Akan dibuktikan bahwa bersifat terbatas. Perhatikan bahwa merupakan himpunan terbuka pada , dan Akibatnya, adalah peliput buka dari . Oleh karena adalah himpunan kompak, maka terdapat suatu titik sedemikian sehingga Misalkan dengan . Diambil sembarang titik . Jika menyatakan titik pusat dari bola yang memuat titik , maka menurut pertidaksamaan segitiga : Akibatnya, diameter dari terbatas oleh
Sifat ketertutupan
Akan dibuktikan bahwa bersifat tertutup melalui kontradiksi. Andaikan merupakan himpunan kompak, namun bukan merupakan himpunan tertutup, maka terdapat suatu titik limit . Didefinisikan dengan . Perhatikan bahwa merupakan himpunan terbuka pada , untuk sembarang , dan Akibatnya, merupakan peliput buka dari himpunan . Sekarang perhatikan sembarang subliput hingga dari peliput tersebut, yaitu Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa . Berdasarkan definisi dari , maka himpunan di atas dapat ditulis sebagai Perhatikan bahwa
- di satu sisi, himpunan bersifat saling lepas dengan suatu persekitaran dari titik , yaitu , dengan . Dengan kata lain,
- di sisi lain, irisan dari himpunan dan himpunan tidaklah kosong, sebab diketahui di awal bahwa titik merupakan titik limit.
Hal ini jelas mustahil terjadi, sebab suatu himpunan tidak mungkin kosong sekaligus tidak kosong. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan bukan merupakan himpunan tertutup) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa merupakan himpunan tertutup apabila adalah himpunan kompak.
Dengan argumentasi serupa, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian kompak dari suatu ruang topologis Hausdorff bersifat tertutup pada .
Implikasi "jika"
Diambil sembarang dan sembarang bilangan riil . Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan merupakan himpunan himpunan kompak melalui kontradiksi.
Andaikan bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka dari yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan kemudian dipartisi menjadi subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan . Jika semua subhimpunan dari himpunan masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari , maka himpunan juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari subhimpunan dari himpunan tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari . Misalkan subhimpunan ini dinamai .
Dengan proses serupa, himpunan kemudian dipartisi menjadi subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan . Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari subhimpunan dari himpunan tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari . Misalkan subhimpunan ini dinamai . Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan ialah , yang akan menuju 0 saat nilai menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan dengan sifat , untuk setiap . Barisan ini adalah barisan Cauchy, sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit . Oleh karena untuk setiap dan setiap himpunan merupakan himpunan tertutup, maka diperoleh untuk setiap .
Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku . Oleh karena , maka diperoleh . Dengan kata lain, himpunan meliput titik . Akibatnya, terdapat suatu sedemikian sehingga . Oleh karena adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu sedemikian sehingga . Jika dipilih , maka . Akibatnya, diperoleh Berdasarkan hasil di atas, himpunan memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu . Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari . Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan merupakan himpunan himpunan kompak.
Diketahui bahwa himpunan adalah himpunan tertutup dan terbatas. Oleh karena himpunan adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu sedemikian sehingga . Misalkan adalah suatu peliput buka dari himpunan . Oleh karena himpunan adalah himpunan tertutup, maka adalah himpunan tertutup, dan himpunan adalah peliput buka dari himpunan , sebab untuk sembarang elemen
- Jika , maka , sehingga diperoleh (sebab )
- Jika , maka , sehingga diperoleh (sebab )
Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka memiliki suatu subliput hingga yang sekaligus meliput himpunan . Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan bukanlah anggota dari himpunan . Akibatnya, himpunan dapat diliput oleh yang merupakan subliput hingga dari . Oleh karena adalah sembarang peliput buka dari himpunan , maka terbukti bahwa himpunan merupakan himpunan kompak.
Sifat Heine–Borel
Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada ruang vektor topologis dan ruang metrik secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini. Ruang-ruang ini disebut memiliki sifat Heine-Borel.
Sifat Heine-Borel pada ruang metrik
Suatu ruang metrik dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatas[3] pada adalah himpunan kompak.
Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik bilangan rasional (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika garis bilangan real tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.
Suatu ruang metrik memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan ) jika dan hanya jika ruang tersebut lengkap, kompak , dan kompak lokal.[4]
Sifat Heine-Borel pada ruang vektor topologis
Suatu ruang vektor topologis dikatakan memiliki sifat Heine-Borel [5] jika setiap himpunan tertutup dan terbatas[6] pada adalah himpunan kompak[7] (R. E. Edwards menggunakan istilah ruang kompak terbatas[8]). Tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), namun beberapa ruang Fréchet memilikinya. Misalnya, ruang dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka [8] dan ruang dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka .[8]
Lihat juga
- Teorema Bolzano–Weierstrass
Catatan
- ^ a b Raman-Sundström, Manya (August–September 2015). "A Pedagogical History of Compactness". American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131
. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.7.619. Parameter
|s2cid=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - ^ Sundström, Manya Raman (2010). "A pedagogical history of compactness". arΧiv:1006.4131v1 [math.HO].
- ^ Suatu himpunan pada ruang metrik dikatakan terbatas jika termuat pada suatu bola yang berjari-jari berhingga. Dengan kata lain, terdapat suatu dan sedemikian sehingga
- ^ Williamson & Janos 1987.
- ^ Kirillov & Gvishiani 1982, Theorem 28.
- ^ Suatu himpunan pada ruang vektor topologis dikatakan terbatas jika setiap persekitaran dari vektor nol pada , terdapat suatu skalar sedemikian sehingga berlaku
- ^ Jika topologi dari suatu ruang vektor topologis dibangkitkan dari suatu metrik , definisi ini tidak ekuivalen dengan definisi dari sifat Heine-Borel pada sebagai suatu ruang metrik, sebab konsep dari himpunan terbatas pada sebagai suatu ruang metrik itu berbeda dengan konsep dari himpunan terbatas pada sebagai suatu ruang topologis. Sebagai contoh, ruang dari fungsi mulus pada selang yang dilengkapi dengn metrik (notasi menyatakan turunan ke- dari fungsi ) memiliki sifat Heine-Borel sebagai ruang vektor topologis, namun sebagai ruang metrik, ruang tersebut tidak memiliki sifat Heine-Borel.
- ^ a b c Edwards 1965, 8.4.7.
Referensi
- P. Dugac (1989). "Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet–Heine–Weierstrass–Borel–Schoenflies–Lebesgue". Arch. Int. Hist. Sci. 39: 69–110.
- BookOfProofs: Sifat Heine-Borel
- Jeffreys, H.; Jeffreys, B.S. (1988). Methods of Mathematical Physics
[Metode Fisika Matematis] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.
- Williamson, R.; Janos, L. (1987). "Construction metrics with the Heine-Borel property" [Metrik konstruksi dengan sifat Heine-Borel]. Proc. AMS (dalam bahasa Inggris). 100 (3): 567–573. doi:10.1090/S0002-9939-1987-0891165-X
.
- Kirillov, A.A.; Gvishiani, A.D. (1982). Theorems and Problems in Functional Analysis [Teorema dan Masalah dalam Analisis Fungsional] (dalam bahasa Inggris). Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.
- Edwards, R.E. (1965). Functional analysis [Analisis Fungsional] (dalam bahasa Inggris). Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030505356.
Pranala luar
- (Inggris)Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). The Heine–Borel Theorem. Hannover: Leibniz Universität. Diarsipkan dari versi asli (avi • mp4 • mov • swf • streamed video) tanggal 2011-07-19. Parameter
|url-status=
yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan) - (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Borel-Lebesgue covering theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- (Inggris)Mathworld "Teorema Heine-Borel"
- (Inggris)"Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"