ハンケル変換

ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数 ${\displaystyle \nu }$ のハンケル変換は以下で定義される。

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$

ここで J_ν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 F_ν(k) は以下となることが分かる。

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k~dk}$

ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。

定義域

関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr}$

が有限であるときである。

しかしフーリエ変換と同様に、たとえば ${\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}$ のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。

基底関数の直交性

ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}}$

ここで k と k' はどちらも 0 より大きい。

プランシュレルの定理とパーセバルの定理

関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 F_ν(k) と G_ν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r~dr=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k~dk.}$

プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r~dr=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k~dk.}$

これらのことは、基底の直交性から導かれる。

他の積分変換との関連

フーリエ変換との関連

零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。

動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。

${\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d\mathbf {r} .}$

ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。

${\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,dr\,d\theta }$

ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\,dr}$

これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。

フーリエ変換、アーベル変換との関連

ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。

${\displaystyle FA=H.\,}$

つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。

変換表

${\displaystyle f(r)\,}$	${\displaystyle F_{0}(k)\,}$
${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \delta (k)/k\,}$
${\displaystyle 1/r\,}$	${\displaystyle 1/k\,}$
${\displaystyle r\,}$	${\displaystyle -1/k^{3}\,}$
${\displaystyle r^{3}\,}$	${\displaystyle 9/k^{5}\,}$
${\displaystyle r^{m}\,}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,}$ for m odd ${\displaystyle 0???\,}$ for m even
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi k}}}K_{-1/2}(k|z|)\,}$
${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\,}$	${\displaystyle K_{0}(k|z|)\,}$
${\displaystyle e^{iar}/r\,}$	${\displaystyle i/{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}\quad (a>0,k<a)\,}$
${\displaystyle \,}$	${\displaystyle 1/{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,k>a)\,}$
${\displaystyle e^{-a^{2}r^{2}/2}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)\,}$	${\displaystyle {\frac {d^{2}F_{0}}{dk^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {dF_{0}}{dk}}}$

${\displaystyle K_{n}(z)}$ は第2種変形ベッセル関数である。表中の ${\displaystyle {\frac {d^{2}F_{0}}{dk^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {dF_{0}}{dk}}}$ は、球対称な関数 ${\displaystyle F_{0}(k)}$ に極座標系 ${\displaystyle (k,\theta )}$ におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。

参考文献

• Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed. ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223 
• GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換^{[リンク切れ]}