主値

複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、英: principal value）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

必要性

複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。

${\displaystyle e^{w}=z\,\!}$

例えば、${\displaystyle \log i}$ の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。

${\displaystyle e^{w}=i\,\!}$

オイラーの公式から、${\displaystyle i\pi /2}$ が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点 ${\displaystyle (0,i)}$ の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。${\displaystyle (1,0)}$ から反時計回りに ${\displaystyle \pi /2}$ ラジアンだけ回転した点が ${\displaystyle (0,i)}$ になるが、ここからさらに ${\displaystyle 2\pi }$ 回転すると、また ${\displaystyle (0,i)}$ になる。したがって${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$ も ${\displaystyle \log i}$ の値であると考えることができ、また ${\displaystyle 2\pi }$ だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり ${\displaystyle \log i}$ の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z+2\pi k\right)}$

と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。

ここで k = 0 に相当する分枝を主枝（英語版）、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

一般化

一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

${\displaystyle \mathrm {pv} \ f(z)}$

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

主な関数の主値

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数

対数関数の例は上述したが、その形は

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)}$

である。ここで ${\displaystyle \mathrm {arg} \ z}$ が多価である。この偏角の取りうる範囲を ${\displaystyle -\pi <\mathrm {arg} \ z\leq \pi }$ に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って ${\displaystyle \mathrm {Arg} \ z}$ と書く。関数の定義に ${\displaystyle \mathrm {arg} \ z}$ の代わりに ${\displaystyle \mathrm {Arg} \ z}$ を使うことで、対数関数が一価になり、

${\displaystyle \mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).}$

と書くことができるようになる。

指数関数

${\displaystyle \alpha }$ を複素数（${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$）とするときの指数 ${\displaystyle z^{\alpha }\,}$ について考えるとき、一般には z^α を e^{α log z} として定義する。ここで Log でなく log を使うと、e^{α log z} は多価関数となる。Log を使えば以下の形で z^α の主値を取ることができる。

${\displaystyle \mathrm {pv} \ z^{\alpha }=e^{\alpha \mathrm {Log} \ z}}$

平方根

複素数 ${\displaystyle z=re^{\phi i}\,}$ の平方根の主値は以下のようになる。

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

ここで偏角は ${\displaystyle -\pi <\phi <\pi \,}$ の範囲である。

複素数の偏角

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

• ${\displaystyle [0,2\pi )}$
• ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

• atan2：${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ の範囲
• atan：${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2)}$ の範囲

関連項目

• 主枝（英語版）
• 分岐点
• 多価関数
• 価数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Principal Value". mathworld.wolfram.com (英語).