閉微分形式
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微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式(へいびぶんけいしき、英: closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。
シュヴァルツの定理により、C1-級(フランス語版)函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。
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一次微分形式の場合
詳細は「1-形式」を参照
n-次元の 1-形式 が閉であるとは、 が成り立つことである。これは全部で n(n – 1)/2 この条件を満足することを言っている。
- 一次元の場合、可微分 1-形式 ω ≔ A(x)dx は常に閉である。
- 二次元の場合、1-形式 ω ≔ A(x, y)dx + B(x, y)dy が閉となるのは、 を満たすときである。
- 三次元の場合、1-形式 ω ≔ A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、 となるときである。これは Ω ≔ t(A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。
注
[脚注の使い方]
注釈
出典
参考文献
- (フランス語) Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [要文献特定詳細情報]
- (フランス語) Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]
関連項目
ポータル 数学
外部リンク
- Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Closed Form". mathworld.wolfram.com (英語).
- closed (differential form) - PlanetMath.(英語)
- closed differential forms on a simply connected domain - PlanetMath.(英語)
- closed form in nLab