Hom関手
圏論において、対象の間の射の集合(hom-setともいう)は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手(ほむかんしゅ、英語: Hom functor)と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
定義
C を局所的に小さな圏(英語版)、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。
Hom (A, _) : C → Set | Hom (_, B) : Cop → Set |
---|---|
共変関手 Hom(A, _) は以下で与えられる:
| 反変関手 Hom(_, B) は以下で与えられる:
|
関手 Hom(_, B) は、B の点の関手(英語版)(英語: functor of points)とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Hom_functor.svg/320px-Hom_functor.svg.png)
2つの経路は g : A → B を f∘g∘h : A' →B' に写す。
上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手(英語版)であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手である。Cop は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。
米田の補題
上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 SetCop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。
内部Hom関手
圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば
と書かれたり、と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏(英語版)と呼ばれる。
閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、
である。ここで はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 を内部Homと呼ぶ。 がデカルト積 であるとき、対象 を指数対象と呼び、 と書くこともある。
内部Homは、圏の内部言語(英語版)と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム(英語版)がある。
性質
- 次の形の関手は前層である:同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。
- 関手 Hom(_, _) : Cop × C → Set は定義からプロファンクタ(英語: Profunctor)であり、特に恒等プロファンクタ である。
- 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : Cop → C は Cop の極限(すなわち C の余極限)を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。
- A をアーベル圏、A を A の対象とすると、HomA (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である[1]。
関連項目
脚注
- ^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.
参考文献
- Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8
- Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 2009年11月25日閲覧。
- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7
外部リンク
- Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
- Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom