바이어슈트라스 M-판정법

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해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.[1]

정의

K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수

집합 S {\displaystyle S} 및 함수열 f n : S → K {\displaystyle f_{n}\colon S\to \mathbb {K} } ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ( M n ) n ∈ N ⊆ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )} 이 존재한다고 하자.

  • 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, | f n ( s ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(s)|\leq M_{n}}
  • ∑ n = 0 ∞ M n < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 는 균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 에 대하여, ∑ n = 0 ∞ M n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}} 의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다.

임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 에 대하여, | ∑ k = m + 1 n M k | < ϵ {\displaystyle \textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}\right|<\epsilon }

삼각 부등식에 따라, 임의의 m , n > N ϵ {\displaystyle m,n>N_{\epsilon }} 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여,

| ∑ k = m + 1 n f k ( s ) | ≤ ∑ k = m + 1 n | f k ( s ) | ≤ ∑ k = m + 1 n M n < ϵ {\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|\leq \sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(s)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{n}<\epsilon }

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수

보다 일반적으로, 집합 S {\displaystyle S} 및 K {\displaystyle \mathbb {K} } -바나흐 공간 ( X , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )} 및 함수열 f n : S → X {\displaystyle f_{n}\colon S\to X} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } )이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 ( M n ) n ∈ N ⊆ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle (M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )} 이 존재한다고 하자.

  • 임의의 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 및 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 에 대하여, ‖ f n ( s ) ‖ ≤ M n {\displaystyle \Vert f_{n}(s)\Vert \leq M_{n}}
  • ∑ n = 0 ∞ M n < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty }

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 는 균등 수렴한다.

증명:

유계 함수 S → X {\displaystyle S\to X} 의 벡터 공간 B ( S , X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)} 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

‖ f ‖ ∞ = sup s ∈ S ‖ f ( s ) ‖ ( f ∈ B ( S , X ) ) {\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))}

이 경우 B ( S , X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(S,X)} 는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 에 대하여 ‖ f n ‖ ∞ ≤ M n {\displaystyle \Vert f_{n}\Vert _{\infty }\leq M_{n}} 이며, ∑ n = 0 ∞ M n < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty } 이므로, ∑ n = 0 ∞ ‖ f n ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{\infty }<\infty } 이다. 즉, ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} 은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

예

다음과 같은 함수열 f n : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle f_{n}\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} } ( n ∈ Z + {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}} )을 생각하자.

f n : x ↦ x 2 exp ⁡ ( − n x ) {\displaystyle f_{n}\colon x\mapsto x^{2}\exp(-nx)}

그렇다면

f n ′ ( x ) = x exp ⁡ ( − n x ) ( 2 − n x ) {\displaystyle f_{n}'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)}

이므로 각 f n {\displaystyle f_{n}} 은 x = 2 n {\displaystyle \textstyle x={\frac {2}{n}}} 에서 최댓값 ( 2 n ) 2 exp ⁡ ( − 2 ) {\displaystyle \textstyle \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}\exp(-2)} 을 가진다. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty } 이므로, ∑ n = 1 ∞ f n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}} 은 균등 수렴한다.

역사

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

같이 보기

각주

  1. ↑ Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 

참고 문헌

  • Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크): 148.